Astronomia

Perturbazioni e orbite di J2

Perturbazioni e orbite di J2

Sto cercando di risolvere un problema in cui devo calcolare l'orbita di un satellite, ma prima vorrei chiedere alcuni chiarimenti a qualcuno qui che potrebbe sapere queste cose. Devo progettare un'orbita in modo che non siano necessarie manovre (una parte del problema) per mantenerla, e il suggerimento è che ci sono solo perturbazioni J2 e che l'orbita è ellittica. Non lo capisco davvero, quindi qualcuno può spiegare cosa significano con solo perturbazioni J2 e come è rilevante qui? (solo chiedendo una spiegazione)

Grazie!


A causa dell'oblatezza della Terra (il rigonfiamento equatoriale della Terra), il piano orbitale di un satellite geocentrico precederà (ruoterà) rispetto allo spazio inerziale. La velocità con cui la linea dei nodi si sposta a causa di questo rigonfiamento è data da $$ dotOmega = -frac{3}{2}J_2left(frac{r_E}{ℓ} ight)^2 n cosiota $$
dove $J_2$ è il è il coefficiente armonico zonale ($1,08262668 imes10^{-3}$ per la Terra), $r_E$ è il raggio equatoriale del corpo ($6,378,137$ m per la Terra), $ℓ$ è il parametro dell'orbita (il semi-latus rectum), $n$ è il moto medio e $iota$ è l'inclinazione dell'orbita.

Per un dato parametro orbitale ($ℓ$) e moto medio ($n$), è possibile selezionare l'inclinazione di un'orbita di un satellite geocentrico per ottenere, ad esempio, un'orbita eliosincrona ($dotOmega=360^ circ$ per $ 365,26 $ giorni o $ 0,9856 $ gradi al giorno).

Sistema di coordinate

Questo articolo di Wikipedia (e diagramma da quell'articolo) descrive il sistema di coordinate utilizzato.

Il piano orbitale (giallo) interseca un piano di riferimento (grigio). Per i satelliti in orbita attorno alla Terra, il piano di riferimento è solitamente il piano equatoriale della Terra. L'intersezione è chiamata linea dei nodi, poiché collega il centro di massa con i nodi ascendente e discendente. Questo piano, insieme al punto primaverile ($gamma$), stabilisce un quadro di riferimento.

  • Due elementi che definiscono la dimensione e la forma dell'orbita ellittica sono il semiasse maggiore, $a$, e l'eccentricità, $e$. Il semi-latus retto è correlato a $a$ e $e$ da $ℓ=a(1-e^2)$.

  • Due elementi definiscono l'orientamento del piano orbitale in cui è incastonata l'ellisse: l'inclinazione, $iota$, e la longitudine del nodo ascendente, $Omega$.


Propagatori di perturbazione a due corpi, J2 e amplificatori di perturbazione J4

Two-Body, J2Perturbation e J4Perturbation sono propagatori analitici che generano effemeridi valutando una formula. La formula di Two-Body è esatta (cioè la formula genera la soluzione nota per un veicolo che si muove attorno a un corpo centrale considerando solo l'effetto del corpo visto come massa puntuale) ma non è un modello accurato dell'ambiente di forza effettivo di un veicolo. J2Perturbation include l'effetto massa puntiforme così come l'effetto dominante dell'asimmetria nel campo gravitazionale (cioè il termine J2 nel campo gravitazionale, che rappresenta l'oblatezza dell'emisfero nord/sud). ^2 e J4 termini oltre a J2). Nessuno di questi propagatori modella la resistenza atmosferica, la pressione della radiazione solare o la gravità del terzo corpo, rappresentano solo alcuni termini di un modello di campo gravitazionale completo.

Questi propagatori vengono spesso utilizzati nei primi studi (dove i dati del veicolo di solito non sono disponibili per produrre effemeridi più accurate) per eseguire analisi di tendenza: J2 Perturbation viene spesso utilizzato per analisi brevi (settimane) e J4Perturbation spesso per analisi lunghe (mesi, anni). Sono particolarmente utili per modellare orbite mantenute "ideali" senza dover modellare le manovre di manutenzione stesse. Per i satelliti, queste orbite mantenute possono essere costruite utilizzando l'Orbit Wizard.

Le soluzioni prodotte dai propagatori J2Perturbation e J4Perturbation sono approssimative, basate su elementi medi kepleriani. In generale, le forze su un satellite fanno sì che gli elementi medi kepleriani vadano alla deriva nel tempo (cambiamenti secolari) e oscillino (di solito con piccola ampiezza). In particolare, i termini J2 e J4 causano solo oscillazioni periodiche al semiasse maggiore, eccentricità e inclinazione, mentre producono deriva nell'argomento del perigeo, dell'ascensione retta e dell'anomalia media. I propagatori J2Perturbation e J4Perturbation di STK modellano solo la deriva secolare negli elementi (la deriva nell'anomalia media può essere vista meglio come un cambiamento nel periodo di movimento del satellite). Molte delle orbite mantenute ideali sono progettate in modo da sfruttare la deriva secolare prevalente causata da J2 per raggiungere le loro missioni.

Dopo aver scelto il propagatore Two-Body, J2 Perturbation o J4 Perturbation, è necessario definirne i parametri:

  1. Ottieni un nuovo vettore iniziale con lo strumento Stato iniziale (opzionale).
  2. Imposta l'ora di inizio, l'ora di fine e la dimensione del passo del veicolo. Utilizzare il periodo di tempo dello scenario corrente attivando Usa periodo di analisi dello scenario.
  3. Scegli un sistema di coordinate.
  4. Scegli un tipo di coordinate e inserisci i valori per i parametri orbitali.
  5. Usa le Opzioni Speciali. pulsante per impostare il frame di propagazione del satellite. Per i propagatori J2 e J4, puoi anche specificare un'opzione ellisse.
  • È possibile modificare la dimensione del passo utilizzata durante la generazione delle effemeridi, ma raccomandiamo almeno 50 punti effemeridi per orbita per un'interpolazione accurata.
  • Se cambi l'Epoca dello scenario, tutti i veicoli appena definiti avranno un'Ora di inizio e un'Epoca dell'orbita predefiniti uguali alla nuova epoca. Inoltre, per tutti i veicoli precedentemente definiti, vengono regolati i relativi orari di inizio (in secondi d'epoca).

Kit di strumenti di sistema (STK) ,  v 12.2  Ultimo aggiornamento della guida: giugno 2021


Previsioni dello stato finale per il movimento perturbato dalla gravità J2 dei satelliti artificiali della Terra utilizzando le coordinate bisferiche

In questo articolo verrà stabilito il problema del valore iniziale per l'astronomia dinamica utilizzando le coordinate Bisferiche. Viene sviluppato un algoritmo di calcolo per le previsioni dello stato finale per il movimento perturbato dalla gravità J2 dei satelliti artificiali della Terra. Questo algoritmo è importante per il targeting, le manovre di rendez-vous e per le ricerche scientifiche. Le applicazioni dell'algoritmo sono illustrate da esempi numerici di alcune orbite di prova di differenti eccentricità. I risultati numerici sono estremamente precisi ed efficienti.


Propagatori di integrazione numerica (alta fedeltà)

L'approccio numerico alla propagazione è molto più accurato di quello analitico o semi-analitico con la selezione della corretta dimensione del passo nel tempo. Qui, la velocità viene sacrificata durante il calcolo per motivi di precisione. La modellazione dell'orbita è derivata utilizzando algoritmi completi, effemeridi corrette ed è in genere la migliore soluzione per modellare problemi realistici.

propagatore Descrizione
astrogatore Il propagatore Astrogator fornisce la traiettoria e la pianificazione delle manovre e include capacità di puntamento.
HPOP Il propagatore orbitale ad alta precisione (HPOP) è un propagatore orbitale per oggetti satellitari. Genera effemeridi utilizzando l'integrazione numerica delle equazioni differenziali dei moti. HPOP TM è un marchio di Microcosm, Inc. Questo propagatore utilizza gli stessi elementi orbitali per impostare lo stato all'epoca utilizzati dai propagatori Two-Body, J2 e J4.


Strategia di intercettazione di veicoli spaziali in tempo reale su orbite perturbate J 2 2

In questo articolo viene affrontata una strategia di intercettazione in tempo reale per veicoli spaziali sotto la perturbazione gravitazionale non uniforme della Terra. Per intercettare un veicolo spaziale bersaglio su sezioni coniche generali, un intercettore considerato in questo lavoro fa uso di un propulsore che aziona la spinta costante che è paragonabile a una spinta di tipo impulsivo non realistica. La perturbazione J 2 introduce variazioni dinamiche critiche del veicolo spaziale in orbita attorno alla Terra, che si traduce in una notevole quantità di errore di posizione dell'intercettore nel punto di intercettazione finale. Al fine di rilasciare il carico del disturbo J 2 e ridurre la distanza di missaggio tra il bersaglio e l'intercettore, si suggerisce una tecnica di intercettazione in tempo reale con un algoritmo di intercettazione ottimale. La strategia proposta consiste nell'ottenere iterativamente un output ottimizzato per un dato intervallo di tempo con valori ottimali precedentemente ottenuti. Questi parametri sono valutati dall'algoritmo di intercettazione ottimale suggerito. Una volta ottenuta la variazione di velocità ottimale per soddisfare i requisiti di intercettazione, sebbene il sistema orbitale sia perturbato, è facile rigenerare una nuova soluzione impostando la soluzione precedente come nuove ipotesi iniziali. Questa strategia viene impiegata in modo iterativo fino a quando l'intercettore non raggiunge il bersaglio. Vengono eseguite diverse simulazioni numeriche per evidenziare la strategia in tempo reale proposta per le missioni di intercettazione dei veicoli spaziali.


Matematica Gravitazionale

La Legge Universale di Gravitazione afferma che la forza con cui gli oggetti si attraggono è proporzionale al prodotto delle loro masse. Questa forza è anche inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra quegli oggetti. Il calcolo delle orbite usando questa legge funziona bene quando esistono solo due oggetti in un sistema. In realtà, nell'universo esistono più di due oggetti. Il sole, altri pianeti, stelle e asteroidi circondano la Terra. Poiché il sole è così massiccio, tuttavia, è possibile ignorare le forze gravitazionali provenienti da oggetti distanti e ottenere un'approssimazione abbastanza buona di come la Terra orbita attorno al sole.


Analisi delle perturbazioni orbitali agenti su oggetti in orbite vicine all'orbita terrestre geosincrona

L'evoluzione orbitale è stata simulata numericamente per oggetti avviati in orbita geosincrona terrestre (GEO) o in orbite vicino a GEO, durante un progetto per studiare potenziali problemi di detriti orbitali in questa regione. Le perturbazioni simulate includono termini non sferici nel campo geopotenziale terrestre, gravità lunare e solare e pressione della radiazione solare. Gli oggetti simulati includono grandi satelliti, per i quali la pressione della radiazione solare è insignificante, e piccole particelle (pochi micron di diametro), per le quali la pressione della radiazione solare è una forza importante. I risultati per i grandi satelliti sono ampiamente in accordo con i precedenti studi GEO che utilizzavano tecniche di perturbazione classiche. Gli studi sull'evoluzione orbitale sono stati estesi a possibili orbite di stoccaggio leggermente al di sopra o al di sotto del GEO. Si nota che mentre i piani orbitali dei satelliti GEO posti inizialmente in orbite equatoriali precedono, in modo che tali orbite raggiungano inclinazioni da 14° a 15° rispetto all'equatore, esiste un “piano stabile” inclinato di circa 7,3° rispetto all'equatore. I piani orbitali dei satelliti GEO posti in un'orbita piana così stabile subiscono pochissima precessione, rimanendo sempre entro 1.2° dal loro orientamento iniziale. La pressione della radiazione solare genera due effetti principali sulle piccole particelle. Uno è un'oscillazione di eccentricità orbitale anticipata da ricerche precedenti. L'altro è un'oscillazione nell'inclinazione orbitale. Questo modello di inclinazione orbitale è dovuto a una precessione del vettore del momento angolare orbitale della piccola particella attorno a un asse sfalsato dall'asse polare terrestre. L'ampiezza dell'angolo di offset dell'asse di precessione dipende dal rapporto tra l'area della sezione trasversale della particella e la massa. Il tasso di questa precessione differisce notevolmente dal tasso di precessione previsto in uno studio precedente utilizzando tecniche di perturbazione. Questa differenza indica l'inadeguatezza di quelle tecniche di perturbazione per orbite con grandi eccentricità. Per una sequenza di corse con piccole particelle, alla simulazione è stata aggiunta la resistenza di Poynting-Robertson per ridurre lentamente il semiasse maggiore orbitale e sondare possibili risonanze del periodo orbitale vicino alla distanza GEO. Una risonanza significativa è stata trovata alla distanza geosincrona, dove piccoli grani sono intrappolati in una risonanza 1:1 con la rotazione quotidiana della Terra.


Brouwer-Lyddane significa

L'elemento Brouwer-Lyddane Mean contiene parametri simili agli elementi kepleriani tradizionali, ma rappresentano valori mediati nel tempo anziché valori istantanei. Questi elementi spiegano le perturbazioni gravitazionali dovute ai termini di oblatezza J2-J5. Questo set di elementi è destinato all'uso solo quando il corpo centrale della navicella spaziale è la Terra. Gli elementi medi sono particolarmente utili quando si progettano orbite sensibili alle perturbazioni gravitazionali.


Orbite e gravitazione

Sebbene i moti dei pianeti fossero discussi dai greci, credevano che i pianeti ruotassero attorno alla Terra, quindi sono di scarso interesse per noi in questo articolo, sebbene il metodo degli epicicli sia una prima applicazione della serie di Fourier.

Il primo a proporre un sistema di percorsi planetari che avrebbe posto le basi per grandi progressi fu Copernico che in De revolutionibus orbium coelestium Ⓣ (1543) , sosteneva che i pianeti e la Terra si muovessero intorno al Sole. Sebbene fosse una svolta importante, Copernico propose percorsi circolari per i pianeti e osservazioni astronomiche accurate iniziarono presto a dimostrare che la sua proposta non era strettamente accurata.

Puoi vedere un diagramma da De revolutionibus orbium coelestium Ⓣ che mostra il sistema solare di Copernico a QUESTO LINK.

Nel 1600 Keplero divenne assistente di Tycho Brahe che stava effettuando accurate osservazioni dei pianeti. Dopo la morte di Brahe nel 1601, Keplero continuò il lavoro, calcolando i percorsi planetari con una precisione senza precedenti.

Keplero mostrò che un pianeta si muove intorno al Sole in un percorso ellittico che ha il Sole in uno dei suoi due fuochi. Ha anche mostrato che una linea che unisce il pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali mentre il pianeta descrive il suo percorso. Entrambe queste leggi furono formulate per la prima volta per il pianeta Marte e pubblicate in Astronomia Nova Ⓣ (1609) .

Puoi vedere un diagramma da Astronomia Nova Ⓣ che mostra il percorso ellittico di Keplero per Marte a QUESTO LINK.

Tuttavia gli scienziati certamente non accettarono con entusiasmo le prime due leggi di Keplero. Il primo è stato accolto con freddezza ed è stato sicuramente pensato che richiedesse ulteriori lavori per confermarlo. La seconda delle leggi di Keplero subì un destino ancora peggiore essendo stata sostanzialmente ignorata dagli scienziati per circa 80 anni.

La terza legge di Keplero, che i quadrati dei periodi dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei raggi medi dei loro percorsi, è apparsa in armonia mondo Ⓣ (1619) e, forse sorprendentemente alla luce di quanto sopra, fu ampiamente accettato fin dalla sua pubblicazione.

Nel 1679 Hooke scrisse una lettera a Newton. Nella lettera ha spiegato come considerava il moto planetario il risultato di una forza centrale che deviava continuamente il pianeta dal suo percorso in linea retta. Newton non rispose direttamente, ma spiegò la propria idea che la rotazione della Terra potesse essere dimostrata dal fatto che un oggetto caduto dalla cima di una torre avrebbe dovuto avere una velocità tangenziale maggiore di uno caduto vicino ai piedi della torre.

Newton fornì uno schizzo del percorso che la particella avrebbe seguito, mostrandola in modo abbastanza errato a spirale verso il centro della Terra. Hooke rispose che la sua teoria del moto planetario avrebbe portato al percorso della particella come un'ellisse in modo che la particella, se non fosse stato per il fatto che la Terra fosse in mezzo, sarebbe tornata alla sua posizione originale dopo aver attraversato l'ellisse.

Newton, a cui non piaceva essere corretto, dovette ammettere che il suo schizzo originale non era corretto, ma "correggeva" lo schizzo di Hooke partendo dal presupposto che la gravità fosse costante. Hooke rispose a Newton che la sua teoria implicava una legge del quadrato inverso per l'attrazione gravitazionale. Molti anni dopo Hooke avrebbe rivendicato la priorità per la proposta della legge di gravitazione del quadrato inverso e ha usato questa lettera a Newton per sostenere la sua affermazione.

Vale la pena sottolineare che c'è un passo importante da fare da una legge di forza del quadrato inverso per spiegare il moto planetario e una legge di gravitazione universale. Certamente il moto della Luna intorno alla Terra non era visto necessariamente come parte delle stesse leggi che governano il moto dei pianeti intorno al Sole.

Cinquant'anni dopo questi eventi Newton doveva registrare i propri ricordi di questi eventi che, sebbene interessanti, non concordano realmente con i fatti storici noti! [Conservo il vecchio inglese di Newton. ]

Nonostante le affermazioni di Newton nella citazione di cui sopra, aveva infatti dimostrato questo risultato nel 1680 come risultato diretto delle lettere di Hooke. Newton ha effettivamente rielaborato la sua bozza e ha inviato un articolo di nove pagine De motu corporum in gyrum ad Halley. Non enunciava la legge della gravitazione universale né le tre leggi del moto di Newton. Tutto questo doveva svilupparsi nel corso dei prossimi due anni per diventare la base per il principia.

Halley era in gran parte responsabile di garantire che il principia era pubblicato. Ricevette il manoscritto completo di Newton nell'aprile del 1687, ma c'erano molti problemi, non ultimo il fatto che Newton cercò di impedire la pubblicazione del Libro III quando Hooke rivendicò la priorità con la legge della forza del quadrato inverso.

Nel principia il problema di due corpi attrattivi con legge di forza inversa al quadrato è completamente risolto (nelle Proposizioni 1-17, 57-60 nel Libro I). Newton sostiene che una legge dell'inverso del quadrato deve produrre orbite ellittiche, paraboliche o iperboliche.

Una cometa luminosa era apparsa il 14 novembre 1680 . Rimase visibile fino al 5 dicembre 1680 quando si avvicinò troppo al Sole per essere osservato. Riapparve due settimane dopo allontanandosi dal Sole lungo quasi lo stesso percorso lungo il quale si era avvicinato. Newton ha trovato un buon accordo tra la sua orbita e una parabola. Egli usa l'orbita di questa cometa, e delle comete in generale, per supportare la sua legge di gravitazione inversa del quadrato nel principia.

Puoi vedere un diagramma dell'orbita della cometa del 1680 dal principia a QUESTO LINK.

Nel principia Newton dedusse anche la terza legge di Keplero. Egli ha esaminato brevemente (nelle Proposizioni 65 e 66) il problema dei tre corpi. Tuttavia Newton in seguito disse che una soluzione esatta per tre corpi

È importante in questa fase esaminare i problemi che ora sono sorti. Newton aveva completamente risolto il problema teorico del moto di due masse puntiformi sotto una legge di attrazione dell'inverso del quadrato. Per più di due punti di massa è stato possibile trovare solo approssimazioni al moto dei corpi e questa linea di ricerca ha portato a un grande sforzo da parte dei matematici per sviluppare metodi per attaccare questo problema dei tre corpi. Tuttavia, il problema del movimento effettivo dei pianeti e delle lune nel sistema solare era molto complicato da altre considerazioni.

Anche se il sistema Terra - Luna fosse considerato come un problema a due corpi, teoricamente risolto nel principia, le orbite non sarebbero semplici ellissi. Né la Terra né la Luna sono una sfera perfetta quindi non si comportano come una massa puntiforme. Questo doveva portare allo sviluppo della meccanica dei corpi rigidi, ma anche questo non avrebbe fornito un'immagine completamente accurata del problema dei due corpi poiché le forze di marea significano che né la Terra né la Luna sono rigide.

I dati osservativi utilizzati da Newton nel principia è stato fornito dal Royal Greenwich Observatory. Tuttavia studiosi moderni come Richard Westfall affermano che Newton a volte aggiustava i suoi calcoli per adattarli alle sue teorie. Certamente l'evidenza osservativa non poteva essere utilizzata per dimostrare la legge di gravitazione dell'inverso del quadrato. Molti problemi relativi all'osservazione alla teoria esistevano all'epoca del principia e altro sarebbe sorto.

Halley usò il metodo di Newton e scoprì orbite quasi paraboliche per un certo numero di comete. Quando calcolò le orbite di tre comete che erano apparse nel 1537, 1607 e una Halley che osservò lui stesso nel 1682, scoprì che le caratteristiche delle orbite erano quasi identiche. Halley dedusse che si trattasse della stessa cometa e in seguito fu in grado di identificarla con una apparsa nel 1456 e nel 1378. Calcolò un'orbita ellittica per la cometa e notò che Giove e Saturno perturbavano leggermente l'orbita tra ogni ritorno della cometa. Tenendo conto delle perturbazioni, Halley predisse che la cometa sarebbe tornata e avrebbe raggiunto il perielio (il punto più vicino al Sole) il 13 aprile 1759. Ha dato un errore di un mese su entrambi i lati di questa data. La cometa fu effettivamente vista di nuovo per la prima volta nel dicembre 1758 raggiungendo il perielio il 12 marzo 1759.

Nel 1713 una seconda edizione del principia, a cura di Roger Cotes, è apparso. Cotes ha scritto una prefazione difendendo la teoria della gravitazione data nel principia. Fu lo stesso Cotes a fornire i successivi passi matematici trovando le derivate delle funzioni trigonometriche, risultati pubblicati dopo la sua morte.

Eulero sviluppò metodi per integrare equazioni differenziali lineari nel 1739 e rese noto il lavoro di Cotes sulle funzioni trigonometriche. Elaborò tavole lunari nel 1744, chiaramente già studiando l'attrazione gravitazionale nel sistema Terra, Luna, Sole. Clairaut e d'Alembert stavano anche studiando le perturbazioni della Luna e, nel 1747, Clairaut propose di aggiungere un termine 1 / r 4 1/r^ <4> 1 / r 4 alla legge gravitazionale per spiegare il moto osservato del perielio, il punto dell'orbita della Luna in cui è più vicino alla Terra.

Tuttavia, alla fine del 1748 Clairaut aveva scoperto che un'applicazione più accurata della legge dell'inverso del quadrato si avvicinava a spiegare l'orbita. Ha pubblicato la sua versione nel 1752 e, due anni dopo, d'Alembert ha pubblicato i suoi calcoli andando a più termini nella sua approssimazione di Clairaut. In effetti questo lavoro fu importante per far accettare la legge della forza del quadrato inverso di Newton nell'Europa continentale.

L'asse di rotazione della Terra precede, cioè la direzione dell'asse di rotazione stesso ruota in un cerchio con un periodo di circa 26000 anni. La precessione è causata dall'attrazione gravitazionale del Sole sul rigonfiamento equatoriale della Terra, rigonfiamento previsto da Newton. Cassini effettuò una misurazione di un arco di longitudine nel 1712, ma ottenne un risultato che suggeriva erroneamente che la Terra fosse allungata ai poli. Nel 1736 Maupertuis ottenne il risultato corretto verificando le previsioni di Newton. Tuttavia, questo illustra i problemi incontrati dai matematici in questo momento con i dati di base sui corpi del sistema solare, persino la Terra, essendo altamente imprecisi.

C'è un piccolo effetto periodico chiamato nutazione sovrapposto alla precessione causata dal moto del perielio della Luna. Questo effetto sovrapposto ha un periodo di 18 . 6 anni e fu osservato per la prima volta da Bradley nel 1730 ma non annunciato fino a 18 anni dopo, quando ebbe osservato l'intero ciclo. D'Alembert dimostrò rapidamente che il periodo osservato da Bradley era deducibile dalla legge dell'inverso del quadrato ed Eulero lo chiarì ulteriormente con ulteriori lavori sulla meccanica dei corpi rigidi durante gli anni 1750.

Il problema delle orbite di Giove e Saturno aveva turbato astronomi e matematici fin dalla prima teoria delle orbite ellittiche di Keplero. L' Académie des Sciences di Parigi ha offerto premi per il lavoro su questo argomento nel 1748 , 1750 e 1752 . Nel 1748 gli studi di Eulero sulla perturbazione dell'orbita di Saturno gli valsero il Premio. Il suo lavoro per il Premio 1752, tuttavia, contiene molti errori matematici e non fu pubblicato fino a 17 anni dopo. Conteneva idee significative, tuttavia, che furono scoperte indipendentemente poiché il lavoro di Eulero non era noto.

Lagrange vinse il Premio Académie des Sciences nel 1764 per un'opera sulla librazione della Luna. Questo è un movimento periodico nell'asse della Luna che punta verso la Terra che permette, in un periodo di tempo, di vedere più del 50% della superficie della Luna. Ha anche vinto l'Académie des Sciences del 1766 per il lavoro sulle orbite delle lune di Giove dove ha fornito un'analisi matematica per spiegare una disuguaglianza osservata nella sequenza delle eclissi delle lune.

Eulero, dal 1760 in poi, sembra essere il primo a studiare il problema generale dei tre corpi sottoposti a mutua gravitazione (piuttosto che guardare i corpi del sistema solare) sebbene in un primo momento abbia considerato il problema dei tre corpi ristretti solo quando uno dei corpi ha massa trascurabile. Quando un corpo ha massa trascurabile si assume che i moti degli altri due possano essere risolti come un problema a due corpi, il corpo di massa trascurabile non ha effetto sugli altri due. Quindi il problema è determinare il moto del terzo corpo attratto dagli altri due corpi che orbitano l'uno intorno all'altro. Anche in questa forma il problema non porta a soluzioni esatte. Eulero, invece, trovò una soluzione particolare con tutti e tre i corpi in linea retta.

La prima cometa ad avere un'orbita ellittica calcolata che era lontana da una parabola fu osservata da Messier nel 1769. L'orbita ellittica è stata calcolata da Lexell che ha correttamente capito che la piccola orbita ellittica era stata prodotta dalle perturbazioni di Giove. La cometa non ricomparve e di nuovo Lexell dedusse correttamente che Giove aveva cambiato l'orbita così tanto da essere stato lanciato lontano dal Sole.

Il Premio Académie des Sciences del 1772 per il lavoro sull'orbita della Luna fu vinto congiuntamente da Lagrange ed Eulero. Lagrange inviato Essai sur le problème des trois corps in cui mostrò che la soluzione dei tre corpi ristretta di Eulero valeva per il problema generale dei tre corpi. Trovò anche un'altra soluzione in cui i tre corpi erano ai vertici di un triangolo equilatero. Lagrange ritiene che le sue soluzioni non si applichino al sistema solare, ma ora sappiamo che sia la Terra che Giove hanno asteroidi che condividono le loro orbite nella configurazione della soluzione del triangolo equilatero scoperta da Lagrange. Per Giove questi corpi sono chiamati pianeti troiani, il primo ad essere scoperto fu Achille nel 1908. I pianeti troiani si spostano di 60° davanti e di 60° dietro a Giove in quelli che oggi vengono chiamati i punti lagrangiani.

Puoi vedere le posizioni di 6000 asteroidi conosciuti a QUESTO LINK. Questa immagine mostra le posizioni di quasi 6000 asteroidi le cui orbite sono ora note. L'effetto dei punti lagrangiani è facilmente visibile. Giove è il pianeta più esterno raffigurato nell'immagine.

Tuttavia tutto questo lavoro sulle orbite dei corpi nel sistema solare non è riuscito a tenere il passo con osservazioni che sembravano sempre un passo avanti, dando ai teorici ulteriori e ancora ulteriori problemi da spiegare. Laplace, dal 1774 in poi, divenne un importante contributore al tentativo dei teorici di spiegare le osservazioni degli osservatori.

Lagrange introdusse il metodo di variazione delle costanti arbitrarie in un articolo del 1776 affermando che il metodo era di interesse per la meccanica celeste e, in casi particolari, era già stato utilizzato da Eulero, Laplace e lui stesso. Lagrange pubblicò ulteriori importanti articoli nel 1783 e nel 1784 sulla teoria delle perturbazioni delle orbite utilizzando metodi di variazione delle costanti arbitrarie e, nel 1785, applicò la sua teoria alle orbite di Giove e Saturno.

Un importante sviluppo avvenne il 13 marzo 1781 quando l'astronomo William Herschel ( padre di John Herschel ) osservando nel suo osservatorio privato a Bath, in Inghilterra, trovò

Quasi subito ci si rese conto che si trattava di un pianeta ed entro un anno dalla sua scoperta si dimostrò avere un'orbita quasi circolare. Il nome Urano fu infine adottato anche se lo stesso William Herschel lo propose Georgium Sidus ( forse nella speranza di più fondi da Re Giorgio! ) mentre in Francia era conosciuto come Herschel fino alla metà del secolo successivo.

Laplace lesse un libro di memorie all'Académie des Sciences il 23 novembre 1785 in cui dava una spiegazione teorica di tutte le restanti grandi discrepanze tra la teoria e l'osservazione di tutti i pianeti e le loro lune escluso Urano. Ha anche affrontato per la prima volta la questione della stabilità del sistema solare. Questo lavoro doveva culminare nella pubblicazione di Mécanique Celeste Ⓣ (1799) in cui, tra molti altri importanti risultati, affermava di provare la stabilità del sistema solare.

Le restanti osservazioni non spiegate dalla teoria alla fine del XVIII secolo riguardavano il moto della Luna. Il lavoro di Laplace del 1787, quello di Adams del 1854 e più tardi il lavoro di Delaunay descritto di seguito alla fine fornirono soluzioni. Le osservazioni di Urano nei primi anni del XIX secolo mostrarono che c'erano problemi con la sua orbita e nel 1830 Urano si era allontanato di 15" dall'ellisse più adatta.

Il prossimo corpo ad essere scoperto nel sistema solare fu il pianeta minore Cerere, scoperto nel 1801. Nel 1766 J D Titus e nel 1772 J E Bode avevano notato che

ha dato le distanze dei 6 pianeti conosciuti dal Sole (prendendo la distanza della Terra per essere 1) tranne che non c'era nessun pianeta a distanza 2 . 8 . La scoperta di Urano a distanza 19 . 2 era vicino al termine successivo della sequenza 19 . 6 .

È stata effettuata la ricerca di un pianeta a distanza 2 . 8 e il 1° gennaio 1801 G Piazzi scoprì un tale corpo. L'11 febbraio Piazzi si ammalò e terminò le sue osservazioni. Il nuovo pianeta, inosservato da altri astronomi, passò dietro il Sole e si perse. Tuttavia Gauss in un brillante lavoro è stato in grado di calcolare un'orbita dal piccolo numero di osservazioni. Infatti il ​​metodo di Gauss richiede solo 3 osservazioni ed è ancora essenzialmente quello utilizzato oggi nel calcolo delle orbite. Cerere, così chiamata da Piazzi, fu trovata dove Gauss aveva predetto da Olbers. La sua distanza dal Sole corrispondeva esattamente alla 2 . 8 previsione della legge di Titus-Bode.

Johann Encke, uno studente di Gauss, calcolò (usando il metodo di Gauss) un'orbita ellittica per la cometa del 1818. Ha avuto il periodo più breve conosciuto di 3 . 3 anni. Il periodo ha mostrato una diminuzione periodica che Encke non poteva spiegare con perturbazioni di altri pianeti.

Il lavoro sul problema generale dei tre corpi durante il XIX secolo aveva cominciato a seguire due linee distinte. Uno era lo sviluppo di metodi altamente complicati per approssimare i movimenti dei corpi. L'altra linea era quella di produrre una teoria sofisticata per trasformare e integrare le equazioni del moto. La prima di queste linee era la meccanica celeste mentre la seconda era la meccanica razionale o analitica. Sia la teoria delle perturbazioni che la teoria delle variazioni delle costanti arbitrarie erano di grande significato matematico oltre a contribuire notevolmente alla comprensione delle orbite planetarie.

I documenti pubblicati da Hamilton nel 1834 e nel 1835 diedero importanti contributi alla meccanica dei corpi orbitanti. così come l'importante articolo pubblicato da Jacobi nel 1843 in cui riduceva il problema di due pianeti reali orbitanti attorno a un sole al moto di due masse puntiformi teoriche. In prima approssimazione le masse puntiformi teoriche orbitano attorno al centro di gravità del sistema originale in ellissi. Ha poi usato un metodo, scoperto per la prima volta da Lagrange, per calcolare le perturbazioni. Bertrand estese il lavoro di Jacobi nel 1852.

Nel 1836 Liouville studiò la teoria planetaria, il problema dei tre corpi e il moto dei pianeti minori Cerere e Vesta. Molti matematici di questo periodo dedicarono molto del loro tempo a questi problemi. Liouville ha fatto una serie di scoperte matematiche molto importanti mentre lavorava sulla teoria delle perturbazioni, inclusa la scoperta del teorema di Liouville "quando un dominio limitato nello spazio delle fasi evolve secondo le equazioni di Hamilton, il suo volume si conserva".

Intorno al 1840 le irregolarità nell'orbita di Urano spinsero molti scienziati a cercarne le ragioni. Alexis Bouvard ( a collector of planetary data ) proposed that a planet might explain the irregularities and he wrote to the English Astronomer Royal Airy proposing this idea. Bessel also proposed this solution to the problem but died before completing his calculations. Delaunay, famed for his work on the orbit of the Moon, investigated the perturbations in a paper of 1842 . Arago urged Le Verrier to work on the problem and on 1 June 1846 Le Verrier showed that the irregularities could be explained by an unknown planet and he determined the coordinates at which the planet would be found. The astronomer Galle in Berlin found the new planet on 26 September remarkably close to the position predicted by Le Verrier. The observations were confirmed on 29 September 1846 at the Paris observatory.

This was a remarkable achievement for Newton's theory of gravitation and of celestial mechanics. Le Verrier's personal triumph however was somewhat diminished when, on 15 October, a letter was published from the English astronomer Challis claiming that John Couch Adams of Cambridge University had made similar calculations to those of Le Verrier which he had completed in September 1845 . His predicted position for the new planet had been almost as accurate as Le Verrier's but the English astronomers had been much less industrious in their search. John Herschel and Airy also supported Adams' claim. In fact Challis had, after a long delay, begun to search for the new planet on 29 July 1846 . He observed it on 4 August but did not compare his observations with those of the previous night so only realised he had observed the planet after its discovery in Berlin about 7 weeks later. Arago was unimpressed by Adams' priority claims

The argument over a name led to Le Verrier resigning from the Bureau des Longitude and eventually Arago lost his battle over the name which became accepted as Neptune.

Delaunay, mentioned above for his work on the perturbations of Uranus, worked for 20 years on lunar theory. He treated it as a restricted three body problem and used transformations to produce infinite series solutions for the longitude, latitude and parallax for the Moon. The beginnings of his theory was published in 1847 and he had refined the theory until it was published in 2 volumes in 1860 and 1867 and was extremely accurate, its only drawback being the slow convergence of the infinite series.

Delaunay detected discrepancies between the observed motion of the Moon and his predictions. Le Verrier claimed that Delaunay's methods were in error but Delaunay claimed that the discrepancies were due to unknown factors. In 1865 Delaunay suggested that the discrepancies arose from a slowing of the Earth's rotation due to tidal friction, an explanation which is today believed to be correct.

Le Verrier had published an account of his theory of Mercury in 1859 . He pointed out that there was a discrepancy of 38 " per century between the predicted motion of the perihelion ( the point of closest approach of the planet to the Sun ) which was 527 " per century and the observed value of 565 " per century. In fact the actual discrepancy was 43 " per century and this was pointed out by later by Simon Newcomb. Le Verrier was convinced that a planet or ring of material lay inside the orbit of Mercury but being close to the Sun had not been observed.

Le Verrier's search proved in vain and by 1896 Tisserand had concluded that no such perturbing body existed. Newcomb explained the discrepancy in the motion of the perihelion by assuming a minute departure from an inverse square law of gravitation. This was the first time that Newton's theory had been questioned for a long time. In fact this discrepancy in the motion of the perihelion of Mercury was to provide the proof that Newtonian theory had to give way to Einstein's theory of relativity. More details relating to the advance of Mercury's perihelion are contained in the article on general relativity at THIS LINK.

G W Hill published an account of his lunar theory in 1878 . Earlier approaches started with an elliptic orbit of the Moon round the Earth, assuming the Sun had no effect, then perturbing the orbit to take account of the gravitation of the Sun. Hill, on the other hand, started with circular orbits for the Sun and Moon about the Earth and went on to examine the perturbations caused by assuming elliptic orbits.

The final major step forward in the study of the three body problem which we shall consider was that of Poincaré. Bruns proved in 1887 that apart from the 10 classical integrals, 6 for the centre of gravity, 3 for angular momentum and one for energy, no others could exist. In 1889 Poincaré proved that for the restricted three body problem no integrals exist apart from the Jacobian. In 1890 Poincaré proved his famous recurrence theorem, namely that in any small region of phase space trajectories exist which pass through the region infinitely often. Poincaré published 3 volumes of Les méthods nouvelle de la mécanique celeste Ⓣ between 1892 and 1899 . He discussed convergence and uniform convergence of the series solutions discussed by earlier mathematicians and proved them not to be uniformly convergent. The stability proofs of Lagrange and Laplace became inconclusive after this result.

Poincaré introduced further topological methods in 1912 for the theory of stability of orbits in the three body problem. It fact Poincaré essentially invented topology in his attempt to answer stability questions in the three body problem. He conjectured that there are infinitely many periodic solutions of the restricted problem, the conjecture being later proved by Birkhoff. The stability of the orbits in the three body problem was also investigated by Levi-Civita, Birkhoff and others.


Linearized J2 and Atmospheric Drag Model for Control of Inner-Formation Satellite System in Elliptical Orbits

Contributed by the Dynamic Systems Division of ASME for publication in the J OURNAL OF D YNAMIC S YSTEMS , M EASUREMENT, AND C ONTROL . Manuscript received April 6, 2015 final manuscript received January 18, 2016 published online March 9, 2016. Assoc. Editor: Ming Xin.

Cao, L., and Li, H. (March 9, 2016). "Linearized J2 and Atmospheric Drag Model for Control of Inner-Formation Satellite System in Elliptical Orbits." ASME. J. Dyn. Sys., Meas., Control. May 2016 138(5): 051004. https://doi.org/10.1115/1.4032745

A new set of linearized differential equations governing relative motion of inner-formation satellite system (IFSS) is derived with the effects of J 2 as well as atmospheric drag. The IFSS consists of the “inner satellite” and the “outer satellite,” this special configuration formation endows its some advantages to map the gravity field of earth. For long-term IFSS in elliptical orbit, the high-fidelity set of linearized equations is more convenient than the nonlinear equations for designing formation control system or navigation algorithms. In addition, to avoid the collision between the inner satellite and the outer satellite, the minimum sliding mode error feedback control (MSMEFC) is adopted to perform a real-time control on the outer satellite in the presence of uncertain perturbations from the system and space. The robustness and steady-state error of MSMEFC are also discussed to show its theoretical advantages than traditional sliding mode control (SMC). Finally, numerical simulations are performed to check the fidelity of the proposed equations. Moreover, the efficacy of the MSMEFC is performed to control the IFSS with high precision.


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