Astronomia

Il sistema a tre corpi è “unico”?

Il sistema a tre corpi è “unico”?

Dato uno stato di un sistema ideale a 3 corpi (cioè senza interferenze esterne) nel tempo $t$: la velocità $v_{i,t}$, la massa $m_{i,t}$ e la posizione $x_{i,t }$ per $iin {1,2,3}$, utilizzando il metodo numerico è possibile determinare qualsiasi stato nel tempo $hat{t}$, dove $hat{t}>t$. Ma è possibile determinare uno stato univoco nel tempo $ar{t}$ dove $ar{t}<>

In altre parole, è sufficiente conoscere un singolo stato del sistema per un dato tempo per dedurre gli stati del sistema per sempre?

Equivalentemente, due diversi stati del sistema a 3 corpi risulteranno nello stesso stato (forse in tempi diversi) in futuro?


Quello che stai veramente chiedendo è meno a che fare con l'astronomia e più a che fare con la matematica. In pratica ti stai chiedendo se, dato un sistema di equazioni differenziali, esisterà una soluzione unica per sempre? Per una risposta, dovresti controllare i teoremi di esistenza e unicità delle equazioni differenziali. Faresti meglio a porre domande come questa su Mathematics This Site.

Tuttavia, per discutere il particolare caso astronomico di cui hai chiesto, la risposta è sì, puoi eseguire quel sistema sia in avanti che all'indietro se conosci uno stato iniziale. La meccanica newtoniana è completamente deterministica in quanto se conosci tutte le equazioni del moto coinvolte, così come l'intero stato del sistema in un dato momento, puoi capire lo stato di quel sistema in qualsiasi altro momento, sia nel passato che il futuro.

Per parlare del tuo particolare problema di orbita a 3 corpi, però, dirò che il sistema di equazioni non è risolvibile in forma chiusa - cioè, non puoi scrivere una soluzione analitica alle equazioni come potresti per il 2- cassa del corpo. Come afferma userLTK, puoi scrivere soluzioni approssimative nel problema a 3 corpi ristretto, in cui una massa è significativamente inferiore alle altre due e orbita in condizioni specifiche.

Per ottenere una soluzione in qualsiasi momento $hat{t}$, è necessario utilizzare metodi numerici. Naturalmente i metodi numerici sono intrinsecamente imperfetti. Gli errori numerici si accumulano più a lungo si simula a causa di passaggi temporali non infinitesimali, da errori all'interno degli algoritmi numerici utilizzati e da errori generali in virgola mobile. In teoria, se avessi un computer con precisione infinita e potenza di calcolo infinita, potresti risolvere perfettamente un sistema a 3 corpi (o n-corpi), ma viviamo nel mondo reale in cui queste cose sono impossibili.

Per dimostrare, tuttavia, che puoi capire lo stato in qualsiasi momento nel passato o nel presente per un corpo a tre corpi, ho scritto una simulazione di base in Python 3. Può funzionare sia in avanti che indietro da una determinata condizione di inizio e iniziare tempo. Essenzialmente mette tre masse quasi identiche in posizioni e velocità iniziali inventate. Sotto il codice ci sono i grafici dei risultati.

import numpy as np from numpy.linalg import norm from matplotlib.pyplot import * from time import time # Definisci le costanti fisiche G = 6.67408E-11 # Costante gravitazionale, m^3 kg^-1 s^-2 # Definisci i parametri del corpo 1 m1 = 2.2E30 # Massa, kg x1 = np.array([0,1E11]) # Posizione, m v1 = np.array([-3.5E4,0]) # Velocità, m/s # Definisce i parametri del corpo 2 m2 = 1.9E30 x2 = np.array([1E11*np.cos(210*np.pi/180), 1E11*np.sin(210*np.pi/180)]) v2 = np.array([3E4* np.cos(300*np.pi/180), 3E4*np.sin(300*np.pi/180)]) # Definisce i parametri del corpo 3 m3 = 2E30 x3 = np.array([1E11*np.cos( 330*np.pi/180), 1E11*np.sin(330*np.pi/180)]) v3 = np.array([3E4*np.cos(60*np.pi/180), 3E4*np .sin(60*np.pi/180)]) # Definire i parametri di simulazione n = 3 # Numero di corpi, senza unità t = 0 # Tempo di simulazione, s dt = 1E4 # Passo temporale di simulazione, s tEnd = 1E8 # Tempo di fine simulazione , sm = np.array((m1,m2,m3)) # Tutte le masse x = np.vstack((x1,x2,x3))# Tutte le posizioni v = np.vstack((v1,v2,v3))# Tutte le velocità xHist = [[list(x1)],[list(x2)],[list(x3 )]] vHist = [[list(v1)],[list(v2)],[list(v3)]] # Simula fino al raggiungimento dell'ora di fine start = time() while True: # Calcola l'accelerazione a = [] per i in range(n): a.append(0) for j in range(n): if i == j: continua a[-1] += - G * m[j] / norm(x[i]- x[j])**3 * (x[i] - x[j]) # Aggiorna le velocità per i,vi,ai in zip(range(n),v,a): vi += ai * dt vHist[ i].append(list(vi)) # Aggiorna le posizioni per i,xi,vi in ​​zip(range(n),x,v): xi += vi * dt xHist[i].append(list(xi)) # Aggiorna l'ora e termina la simulazione se passato tEnd t += dt if dt > 0 et > tEnd: break if dt < 0 et < tEnd: break end = time() print('Simulazione terminata tra {:.4f} secondi .'.format(end-start)) # Converte xHist e vHist in array np xHist = np.array(xHist) vHist = np.array(vHist) # Traccia tutto figure() per i,c in enumerate([' or','ob','oc']): # Traccia le posizioni iniziali plot(xHist[i,0,0], xHist[i,0,1], c) for i,c in enumerate(['-r ','-b','-c']): # Traccia il percorso di star plot(xHist[i,::0], xHist[i,:,1], c) gca().set_aspect(1) gca ().set_xtick s([]) gca().set_yticks([]) show(block = False)

Nota, i grafici mostrano le posizioni iniziali delle stelle come punti e poi tracciano i loro percorsi nel tempo.

Percorso di tre masse per $t<> In questo scenario, le tre masse finiscono nello scenario artificioso. Ho eseguito la simulazione all'indietro impostando il timestepdte il tempo della finetEndessere negativo.

Percorso di tre masse per $t_0<> Da qui, la simulazione viene eseguita in avanti con positivodtetEnd, partendo dallo stesso scenario artificioso di cui sopra.

Nota quanto sia caotico e instabile questo sistema. L'intero sistema rimane un sistema a 3 corpi solo per meno di 6 anni. Prima di allora le tre masse sono separate e fanno le loro cose. Si incontrano "per coincidenza" (perché l'ho impostato così dovrebbero), orbitano l'uno intorno all'altro per poco meno di 6 anni, e uno viene espulso, con il risultato che gli altri due continuano a orbitare l'uno sull'altro.

Scenario inventato con $m_1=m_2=m_3$, $|v_1|=|v_2|=|v_3|$ e tutte le posizioni $120^o$ l'una dall'altra Solo per divertimento, un problema a 3 corpi "stabile" con tutte le stelle di uguale massa e orbite. Questa è davvero un'orbita di equilibrio instabile e qualsiasi perturbazione la rovinerà e vedrai quello che hai visto nei due grafici sopra. In effetti, se lo esegui abbastanza a lungo, le instabilità numeriche del mio codice provocheranno la rottura delle orbite. Questa instabilità numerica, come ho detto sopra, è inerente a qualunque soluzione numerica e non può essere superata, ma solo minimizzata. Trovo che, usando il metodo numerico che ho fatto, il mio sistema resiste alle instabilità numeriche per circa 7 anni. Se voglio eseguirlo più a lungo (e continuare a essere preciso), ho bisogno di metodi numerici più robusti.


I fisici si avvicinano a domare il caos del "problema dei tre corpi"

I fisici hanno passato secoli alle prese con una scomoda verità sulla natura: di fronte a tre stelle in rotta di collisione, gli astronomi potrebbero misurare le loro posizioni e velocità in nanometri e millisecondi e non sarebbe sufficiente prevedere il destino delle stelle.

Ma il cosmo spesso riunisce trii di stelle e buchi neri. Se gli astrofisici sperano di comprendere appieno le regioni in cui i corpi celesti si mescolano in folle, devono affrontare il "problema dei tre corpi".

Sebbene il risultato di un singolo evento a tre corpi sia inconoscibile, i ricercatori stanno scoprendo come prevedere la gamma di risultati di grandi gruppi di interazioni a tre corpi. Negli ultimi anni, vari gruppi hanno capito come fare previsioni statistiche di ipotetici abbinamenti a tre corpi: ad esempio, se Terra impigliato con Marte e Mercurio migliaia di volte, quante volte Marte verrebbe espulso? Ora, una nuova prospettiva sviluppata dal fisico Barak Kol semplifica il "problema dei tre corpi" probabilistico, guardandolo da una nuova prospettiva astratta. Il risultato raggiunge alcune delle previsioni più accurate finora.

"Va davvero bene", ha detto Nathan Leigh, un astronomo dell'Università di Concepción in Cile che è coinvolto nella sperimentazione del nuovo modello. "Penso che il [modello] di Barak in questo momento sia il migliore".


Il sistema a tre corpi è &ldquounico&rdquo? - Astronomia

Jiacheng Wang 1, Jhon Tu 2, Yicheng Zhao 3

1 Shandong Experimental High School, Jinan, 250001, Cina.

2 Collegio del Mondo Unito di Changshu, Changshu, 215501, Cina.

3 Fuzhou No.1 High School, Fuzhou, 350001, Cina.

Astratto

Questo articolo analizza principalmente i sistemi caotici alla base del problema dei tre corpi, stabilendo la relazione tra i parametri iniziali delle tre stelle e il grado di caos, classificando e confrontando i punti lagrangiani (alcuni o famosi) con simulazione al computer e dimostrazione matematica. Inoltre, questo articolo presenta anche l'analisi per i casi speciali di sistemi a tre corpi nel piano bidimensionale con pattern stabilizzati di ogni specifica soluzione con simulazione al computer e dimostrazioni teoriche.

Parole chiave

Sistema caotico, punti lagrangiani, soluzione specifica, ristretto bidimensionale, problema a tre corpi

Cita questo articolo

Jiacheng Wang, Jhon Tu, Yicheng Zhao. Sistema caotico e casi speciali nel problema a tre corpi ristretto. Le frontiere della società, della scienza e della tecnologia (2021) vol. 3, numero 2: 97-112. https://doi.org/10.25236/FSST.2021.030214.

Riferimenti

[1] Anosova, Z. P., Simulazioni al computer nel problema generale dei tre corpi - Le basi teoriche degli studi, Meccanica Celeste e Astronomia Dinamica (ISSN 0923-2958). [1990]. vol. 48, nr. 4, 1990, pag. 357-373.

[2] Z.E. Musielak e B. Quarles. Il problema dei tre corpi, Reports on Progress in Physics arXiv:1508.02312v1 [astro-ph.EP] 10 ago 2015

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[4] Szebehely V., Teoria delle orbite: il problema dei tre corpi ristretti, Academic Press. [1967]. pag. 126-230

[5] Anosova, Z. P., Simulazioni al computer nel problema generale dei tre corpi - Le basi teoriche degli studi, Meccanica Celeste e Astronomia Dinamica (ISSN 0923-2958), [1990]. vol. 48, nr. 4, 1990, pag. 357-373.

[6] Edward Norton Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow, Journal of the Atmospheric Sciences. [1963]. Vol.20, p.130-141.

[7] Lagrange J L,. Essai sur le probleme des trois orps -uvres, [1772]. vol. 6p 273

[8] Kei Yamada e Hideki Asada, 20° workshop su Relatività Generale e Gravitazione in Giappone (JGRG20). [2001]. pag. 440-443.

[9] C. Simó, Proprietà dinamiche della soluzione a otto del problema dei tre corpi. Prestampa. (Departament de Matematica `Aplicada i Analisi. Universitat de Barcelona). Messico ottobre 2003. vol. 49, n.5

[10] A. Chenciner e R. Montgomery, Una notevole soluzione periodica del problema dei tre corpi nel caso di masse uguali, Ann. di matematica, novembre. [2000]. vol. 152, pag. 881-901

[11] Euler, Leonhard, "De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium" (1767). Archivio Eulero - Tutte le opere. 327.


Una nuova teoria affronta un problema di fisica secolare

Il "problema dei tre corpi", il termine coniato per prevedere il moto di tre corpi gravitanti nello spazio, è essenziale per comprendere una varietà di processi astrofisici e un'ampia classe di problemi meccanici, e ha occupato alcuni dei migliori fisici, astronomi e matematici del mondo da oltre tre secoli. I loro tentativi hanno portato alla scoperta di diversi importanti campi della scienza, ma la sua soluzione è rimasta un mistero.

Alla fine del XVII secolo, Sir Isaac Newton riuscì a spiegare il moto dei pianeti intorno al sole attraverso una legge di gravitazione universale. Ha anche cercato di spiegare il moto della luna. Poiché sia ​​la terra che il sole determinano il moto della luna, Newton si interessò al problema di predire il moto di tre corpi che si muovono nello spazio sotto l'influenza della loro mutua attrazione gravitazionale (vedi illustrazione a destra), un problema che in seguito divenne noto come “il problema dei tre corpi.”

Credito: Università Ebraica di Gerusalemme

Tuttavia, a differenza del problema dei due corpi, Newton non è stato in grado di ottenere una soluzione matematica generale. In effetti, il problema dei tre corpi si è rivelato facile da definire, ma difficile da risolvere.

Una nuova ricerca, guidata dal professor Barak Kol del Racah Institute of Physics dell'Università Ebraica di Gerusalemme, aggiunge un passo a questo viaggio scientifico iniziato con Newton, toccando i limiti della previsione scientifica e il ruolo del caos in essa.

Lo studio teorico presenta una nuova ed esatta riduzione del problema, resa possibile da un riesame dei concetti di base che stanno alla base delle teorie precedenti. Consente una previsione precisa della probabilità per ciascuno dei tre corpi di sfuggire al sistema.

Dopo Newton e due secoli di fruttuose ricerche sul campo tra cui Eulero, Lagrange e Jacobi, alla fine del XIX secolo il matematico Poincaré scoprì che il problema mostra un'estrema sensibilità alle posizioni e velocità iniziali dei corpi. Questa sensibilità, che in seguito divenne nota come caos, ha implicazioni di vasta portata: indica che non esiste una soluzione deterministica in forma chiusa al problema dei tre corpi.

Nel XX secolo, lo sviluppo dei computer ha permesso di riesaminare il problema con l'ausilio di simulazioni computerizzate del moto dei corpi. Le simulazioni hanno mostrato che sotto alcune ipotesi generali, un sistema a tre corpi sperimenta periodi di moto caotico, o casuale, alternati a periodi di moto regolare, fino a quando infine il sistema si disintegra in una coppia di corpi che orbitano attorno al loro comune centro di massa e un terzo allontanandosi, o fuggendo, da loro.

La natura caotica implica che non solo una soluzione in forma chiusa è impossibile, ma anche le simulazioni al computer non possono fornire previsioni specifiche e affidabili a lungo termine. Tuttavia, la disponibilità di ampi set di simulazioni ha portato nel 1976 all'idea di cercare una previsione statistica del sistema e, in particolare, di prevedere la probabilità di fuga di ciascuno dei tre corpi. In questo senso, l'obiettivo originale, trovare una soluzione deterministica, è stato ritenuto sbagliato ed è stato riconosciuto che l'obiettivo giusto è trovare una soluzione statistica.

Determinare la soluzione statistica si è rivelato un compito non facile a causa di tre caratteristiche di questo problema: il sistema presenta moto caotico che si alterna a moto regolare ed è illimitato e suscettibile di disgregazione. Un anno fa, il dottor Nicholas Stone di Racah e i suoi colleghi hanno utilizzato un nuovo metodo di calcolo e, per la prima volta, hanno ottenuto un'espressione matematica chiusa per la soluzione statistica. Tuttavia, questo metodo, come tutti i suoi precedenti approcci statistici, si basa su alcuni presupposti. Ispirato da questi risultati, Kol ha avviato un riesame di queste ipotesi.

La gamma infinita e illimitata della forza gravitazionale suggerisce la comparsa di infinite probabilità attraverso il cosiddetto volume infinito dello spazio delle fasi. Per evitare questa patologia, e per altre ragioni, tutti i tentativi precedenti hanno postulato una "regione di interazione forte" alquanto arbitraria e hanno tenuto conto solo delle configurazioni al suo interno nel calcolo delle probabilità.

Il nuovo studio, recentemente pubblicato sulla rivista scientifica Meccanica Celeste e Astronomia Dinamica, si concentra sul flusso in uscita del volume di fase, piuttosto che sul volume di fase stesso. Poiché il flusso è finito anche quando il volume è infinito, questo approccio basato sul flusso evita il problema artificiale delle probabilità infinite, senza mai introdurre la regione artificiale di interazione forte.

La teoria basata sul flusso predice le probabilità di fuga di ciascun corpo, sotto una certa ipotesi. Le previsioni sono diverse da tutte le precedenti strutture e il prof. Kol sottolinea che "i test di milioni di simulazioni al computer mostrano un forte accordo tra teoria e simulazione". Le simulazioni sono state effettuate in collaborazione con Viraj Manwadkar dell'Università di Chicago, Alessandro Trani dell'Okinawa Institute in Giappone e Nathan Leigh dell'Università di Concepcion in Cile. Questo accordo dimostra che la comprensione del sistema richiede un cambio di paradigma e che la nuova base concettuale descrive bene il sistema. Si scopre, quindi, che anche per le fondamenta di un problema così antico, l'innovazione è possibile.

Le implicazioni di questo studio sono di ampia portata e si prevede che influenzeranno sia la soluzione di una varietà di problemi astrofisici sia la comprensione di un'intera classe di problemi in meccanica. In astrofisica, potrebbe avere applicazione al meccanismo che crea coppie di corpi compatti che sono la sorgente delle onde gravitazionali, oltre che per approfondire la comprensione delle dinamiche all'interno degli ammassi stellari. In meccanica, il problema dei tre corpi è un prototipo per una varietà di problemi caotici, quindi è probabile che i progressi in esso riflettano su problemi aggiuntivi in ​​questa importante classe.

Riferimento: “Previsione statistica basata sul flusso dei risultati a tre corpi” di Barak Kol, 1 aprile 2021, Meccanica Celeste e Astronomia Dinamica.
DOI: 10.1007/s10569-021-10015-x


I calcoli a tre corpi suggeriscono come i buchi neri si avvicinano abbastanza da fondersi

Una soluzione statistica al famigerato problema dei tre corpi della fisica classica potrebbe spiegare perché i rivelatori di onde gravitazionali LIGO-Virgo hanno osservato numerose fusioni di buchi neri.

Il problema dei tre corpi coinvolge tre oggetti classici (come stelle, pianeti o persino buchi neri) che orbitano e interagiscono tra loro. In linea di principio, il comportamento di un sistema a tre corpi in un momento futuro della sua evoluzione è determinato unicamente dalle condizioni iniziali del sistema. Tuttavia, i cambiamenti infinitesimali in queste condizioni iniziali possono accumularsi nel tempo fino a diventare enormi differenze nei risultati. Poiché non è mai possibile misurare le condizioni iniziali con precisione infinita, non è quindi mai possibile usarle per prevedere i risultati a lungo termine - una firma del caos deterministico.

Non esiste una soluzione generale in forma chiusa del problema dei tre corpi, ma se gli oggetti sono molto diversi in massa, il sistema può essere approssimato da problemi a due corpi con piccole perturbazioni dal terzo oggetto. Le cose diventano più scoraggianti, tuttavia, quando le tre masse sono simili. Ora, gli astrofisici negli Stati Uniti hanno costruito modelli al computer di tali sistemi tripli "non gerarchici". Create da Nicholas Stone dell'Università Ebraica di Gerusalemme (che ha svolto il lavoro mentre era alla Columbia University di New York) e Nathan Leigh dell'Università di Concepción in Cile, le simulazioni potrebbero aiutare a spiegare perché LIGO-Virgo ha visto un'abbondanza di gravità- segnali d'onda dalla fusione dei buchi neri.

Rompere è facile da fare

I ricercatori sanno che i sistemi a tre corpi non gerarchici non sono stabili a lungo termine e tendono a rompersi. "Le triplette non gerarchiche tendono a rompersi non molto tempo dopo la loro nascita", spiega Stone. "Ciò significa che le triple non gerarchiche là fuori ora nell'universo che fanno cose interessanti si sono formate in qualche modo speciale."

Stone e Leigh hanno modellato uno dei due meccanismi noti attraverso i quali può formarsi un sistema triplo non gerarchico. "Se si dispone di un ammasso stellare molto denso, i singoli binari si disperderanno frequentemente dalle singole stelle che passano", spiega Stone. "Se una singola stella si avvicina abbastanza, può temporaneamente catturare nel binario e creare una tripla instabile e non gerarchica, che in seguito si disintegra per lasciare un binario con proprietà diverse".

I ricercatori hanno eseguito diverse centinaia di migliaia di simulazioni al computer di tali eventi. Dopo che il terzo corpo è stato catturato, il sistema a tre corpi si evolve attraverso una serie di lunghi periodi di tempo in cui due stelle si comportano effettivamente come un sistema binario, mentre la terza stella interagisce debolmente a distanza. Questi periodi di calma sono interrotti da "scramble" relativamente brevi e intensamente caotici quando le tre stelle sono tutte vicine tra loro. Ogni scramble termina quando una stella, non necessariamente la stessa di prima, guadagna energia sufficiente per sfuggire al centro del sistema. Ciò consente agli altri due di tornare a un'orbita quasi binaria relativamente stabile. Tuttavia, l'energia è insufficiente per consentire alla stella espulsa di sfuggire veramente al sistema dei tre corpi e quando ritorna si verifica un altro scramble. Quando una delle tre stelle acquisisce velocità di fuga durante una corsa, il sistema a tre corpi si rompe, lasciandosi dietro il nuovo binario.

Dare vita ai binari

Sebbene rimanga impossibile prevedere come si evolverà un sistema specifico, la nuova ricerca presenta una distribuzione statistica che mostra le probabilità di come i sistemi tripli non gerarchici caotici hanno maggiori probabilità di rompersi. Inoltre, consente agli astronomi di trarre inferenze sulle probabili condizioni nei sistemi tripli che hanno dato vita a binari con proprietà specifiche. "Possiamo dirvi che le orbite sono generalmente ellittiche piuttosto che circolari, con una certa distribuzione di probabilità di ellitticità", spiega Stone.

"Penso che i risultati siano molto significativi dal punto di vista dell'astrofisica teorica, ma hanno un'applicazione più generale al di là di questo piccolo gruppo", spiega Adrian Hamers dell'Istituto Max Planck di astrofisica di Monaco. In particolare, la creazione di alcuni tipi di sistemi binari potrebbe spiegare perché i rilevatori di onde gravitazionali LIGO-Virgo hanno osservato diverse fusioni di buchi neri di massa solare nei sistemi binari.

Una tale binaria di buchi neri potrebbe essere prodotta da una coppia isolata di stelle ciascuna che collassa per formare un buco nero. Il problema con questo, tuttavia, è che ci si aspetta che stelle di massa e separazione appropriate per creare una tale binaria di buchi neri si uniscano come stelle molto prima che diventino buchi neri. Se le stelle sono più distanti – e quindi hanno abbastanza tempo per collassare per formare buchi neri – allora si prevede che i buchi neri impiegheranno più tempo dell'età dell'universo per fondersi.

LIGO rileva le prime onde gravitazionali in assoluto – da due buchi neri che si fondono

La presenza di un terzo corpo potrebbe essere la risposta come spiega Hamers: “In questi tipi di interazioni dinamiche, puoi guidare i buchi neri in orbite più strette dove possono fondersi in tempi molto più brevi.

Johan Samsing del Niels Bohr Institute di Copenhagen vede diverse importanti implicazioni per il lavoro – e un difetto chiave: le formule funzionano solo per i sistemi che si evolvono caoticamente attraverso una serie di stati di scramble, dimenticando le loro condizioni iniziali. Al momento, dice, è necessaria una simulazione al computer per calcolare se il sistema entrerà in tale stato: "In circa la metà di tutte le interazioni, il terzo oggetto passerà prontamente attraverso il binario e lo perturberà in un singolo passaggio", spiega . "Vedrei questo come un primo passo: se possono espandere il loro formalismo e dire quali parti dello spazio delle fasi sono caotiche e quali no, sarebbe un passo successivo naturale".


Il sistema a tre corpi è &ldquounico&rdquo? - Astronomia

Come ottenere un modello matematico del moto della Luna intorno alla Terra, considerando le perturbazioni solari.

Il problema a cui ti riferisci si chiama "problema dei tre corpi", ed è uno dei più difficili della meccanica celeste. Dalla fine del Settecento sappiamo che questo problema non è integrabile, cioè non si riesce a trovare una soluzione analitica. Quello che si può fare è trovare una soluzione approssimata, espandendo in serie di elementi orbitali la cosiddetta "funzione di disturbo", o, più comunemente, integrare numericamente le equazioni dei moti. Non ci sono modi davvero buoni per farlo senza matematica e/o programmazione.

Entrambi i metodi non sono esattamente semplici, quindi, se la meccanica celeste è un argomento nuovo per te, ti suggerirei di iniziare a derivare la soluzione per gli elementi orbitali di un problema più semplice, il cosiddetto problema dei due corpi (cioè, come nel caso della Terra in orbita attorno al Sole, senza altri pianeti). I capitoli 4 e 6 di Danby (1992, Fundamental of Celestial Mechanics, Ed. Willmann-Bell) sono un ottimo punto di partenza per il problema dei due corpi. Se hai già familiarità con il problema dei due corpi, allora potresti voler leggere il capitolo 8 (ed eventualmente 9) in Danby, sul problema dei tre corpi e degli n-corpi. Un altro riferimento è Murray e Dermott 1999, Solar System Dynamics, Ed. Cambridge. I capitoli 6 (la funzione di disturbo), 7 e 8 sarebbero un'utile fonte di informazioni. Tieni presente che questo è un libro che richiede un background sostanziale in matematica.

Bene, spero di essere stato di aiuto, per favore fatemi sapere se avete ulteriori domande.

Questa pagina è stata aggiornata l'ultima volta il 18 luglio 2015.

Circa l'autore

Valerio Carruba

Valerio è attualmente Professore all'Università Statale di San Paolo in Brasile (UNESP), e lavora principalmente con la dinamica degli asteroidi. Ha frequentato il college in Italia presso l'Università "La Sapienza", ha conseguito il Ph. D. in Qstronomy presso la Cornell University, e poi è andato in Brasile nel 2004 per vari post-doc che poi si è "evoluto" nella sua attuale posizione permanente.


Previsione statistica basata sul flusso dei risultati a tre corpi

Da Poincaré, il problema dei tre corpi è noto per essere caotico e si crede che manchi di una soluzione deterministica generale. Invece, decenni fa una soluzione statistica era segnata come un obiettivo. Eppure, nonostante i notevoli progressi, tutti gli approcci esistenti mostrano due difetti. Innanzitutto, la probabilità è stata equiparata al volume dello spazio delle fasi, ignorando così il fatto che regioni significative dello spazio delle fasi descrivono il movimento regolare, incluso il movimento post-decadimento. In secondo luogo e in modo correlato, un parametro regolabile, la regione di interazione forte, che è una sorta di cutoff, era un ingrediente centrale della teoria. Questo documento introduce rimedi e presenta per la prima volta una previsione statistica dei tassi di decadimento, oltre ai risultati. Sulla base di un'analogia con una particella che si muove all'interno di un contenitore che perde, la distribuzione statistica è presentata in una forma esattamente fattorizzata. Un fattore è il flusso del volume nello spazio delle fasi, piuttosto che il volume stesso, ed è dato in una forma chiusa indipendente dal taglio. Gli altri fattori sono l'assorbimento caotico e il volume dello spazio delle fasi regolarizzato. La situazione è analoga alla legge di Kirchhoff della radiazione termica, nota anche come radiazione del corpo grigio. Inoltre, viene introdotto un sistema di equazioni per l'evoluzione temporale della distribuzione statistica che descrive le statistiche del tasso di decadimento tenendo conto delle escursioni sub-fuga. I primi test numerici indicano un salto di precisione.

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Il sistema a tripla stella può fornire indizi sulla vera natura della gravità

Gli astronomi hanno scoperto un sistema stellare unico della pulsar superdensa PSR J0337+1715 e due nane bianche, tutte racchiuse in uno spazio più piccolo dell'orbita terrestre intorno al Sole. La vicinanza delle stelle, combinata con la loro natura, consente agli astronomi di sondare uno dei principali problemi in sospeso della fisica fondamentale: la vera natura della gravità.

Questa immagine mostra la pulsar PSR J0337+1715. Credito immagine: Ransom SM et al.

"Questo triplo sistema ci offre un laboratorio cosmico naturale di gran lunga migliore di qualsiasi altro trovato prima per imparare esattamente come funzionano questi sistemi a tre corpi e potenzialmente per rilevare problemi con la relatività generale che i fisici si aspettano di vedere in condizioni estreme", ha affermato il dott. Scott Ransom of the National Radio Astronomy Observatory, che è l'autore principale dell'articolo pubblicato sulla rivista Natura (arXiv.org).

PSR J0337+1715 è un'insolita stella di neutroni situata a circa 4.200 anni luce dalla Terra, che ruota quasi 366 volte al secondo. È stato osservato per la prima volta da Jason Boyles della Western Kentucky University utilizzando il Green Bank Telescope dell'NSF.

Tali pulsar che ruotano rapidamente sono chiamate pulsar millisecondi e possono essere utilizzate dagli astronomi come strumenti di precisione per studiare una varietà di fenomeni, comprese le ricerche delle sfuggenti onde gravitazionali.

Osservazioni successive hanno mostrato che la PSR J0337+1715 è in un'orbita stretta con una nana bianca e che quella coppia è in orbita con un'altra nana bianca più distante.

Gli astronomi hanno quindi iniziato le osservazioni intensive utilizzando il Green Bank Telescope, l'Arecibo Radio Telescope a Porto Rico e il Westerbork Synthesis Radio Telescope nei Paesi Bassi. Hanno anche studiato il sistema utilizzando i dati dello Sloan Digital Sky Survey, del satellite GALEX, del telescopio WIYN su Kitt Peak, in Arizona, e dello Spitzer Space Telescope.

La pulsar di millisecondi PSR J0337+1715, in primo piano a sinistra, è orbitata da una stella nana bianca calda, al centro, entrambe orbitate da un'altra nana bianca più lontana e più fredda, in alto a destra. Illustrazione di Bill Saxton / NRAO / AUI / NSF.

Registrando in modo molto accurato il tempo di arrivo degli impulsi della pulsar, il team è stato in grado di calcolare la geometria del sistema e le masse delle stelle con una precisione senza precedenti.

“Abbiamo effettuato alcune delle misurazioni più accurate delle masse in astrofisica. Alcune delle nostre misurazioni delle posizioni relative delle stelle nel sistema sono accurate fino a centinaia di metri", ha aggiunto la coautrice dello studio, la dott.ssa Anne Archibald dell'Istituto olandese di radioastronomia.

Sebbene la teoria della relatività generale di Einstein sia stata finora confermata da ogni esperimento, non è compatibile con la teoria dei quanti. Per questo motivo, i fisici si aspettano che si romperà in condizioni estreme", ha detto il dottor Ransom.

"Questo triplo sistema di stelle compatte ci offre una grande opportunità per cercare una violazione di una forma specifica del principio di equivalenza chiamato Principio di equivalenza forte".

Quando una stella massiccia esplode come una supernova e i suoi resti collassano in una stella di neutroni superdensa, parte della sua massa viene convertita in energia di legame gravitazionale che tiene insieme la stella densa. Il Principio di Equivalenza Forte afferma che questa energia vincolante reagirà ancora gravitazionalmente come se fosse massa. Praticamente tutte le alternative alla Relatività Generale sostengono che non lo farà.

“Questo sistema offre il miglior test finora possibile,” ha affermato il dott. Ransom.

Secondo il Principio di Equivalenza Forte, l'effetto gravitazionale della nana bianca esterna sarebbe identico sia per la nana bianca interna che per la stella di neutroni PSR J0337+1715. Se il principio non è valido nelle condizioni di questo sistema, l'effetto gravitazionale della stella esterna sulla nana bianca interna e sulla stella di neutroni sarebbe leggermente diverso e le osservazioni di temporizzazione delle pulsar ad alta precisione potrebbero facilmente dimostrarlo.

"Eseguendo una temporizzazione molto precisa degli impulsi provenienti dalla pulsar, possiamo testare una tale deviazione dal principio di equivalenza forte a una sensibilità di diversi ordini di grandezza superiore a quella mai disponibile prima", ha spiegato la coautrice dello studio, la dott.ssa Ingrid Stairs. dell'Università della Columbia Britannica.

"Trovare una deviazione dal principio di equivalenza forte indicherebbe una rottura della Relatività Generale e ci indirizzerebbe verso una nuova teoria della gravità rivista".

Ransom SM et al. Una pulsar al millisecondo in un sistema stellare triplo. Natura, pubblicato online il 05 gennaio 2014 10.1038/nature12917


Scoperto un pulsar al millisecondo nel raro sistema a tripla stella

If you’re looking for something truly unique, then check out the cosmic menage aux trois ferreted out by a team of international astronomers using the Green Bank Telescope (GBT). This unusual group located in the constellation of Taurus includes a pulsar which is orbited by a pair of white dwarf stars. It’s the first time researchers have identified a triple star system containing a pulsar and the team has already employed the clock-like precision of the pulsar’s beat to observe the effects of gravitational interactions.

“This is a truly remarkable system with three degenerate objects. It has survived three phases of mass transfer and a supernova explosion, and yet it remained dynamically stable”, says Thomas Tauris, first author of the present study. “Pulsars have previously been found with planets and in recent years a number of peculiar binary pulsars were discovered which seem to require a triple system origin. But this new millisecond pulsar is the first to be detected with two white dwarfs.”

This wasn’t just a chance discovery. The observations of 4,200 light year distant J0337+1715 came from an intensive study program involving several of the world’s largest radio telescopes including the GBT, the Arecibo radio telescope in Puerto Rico, and ASTRON’s Westerbork Synthesis Radio Telescope in the Netherlands. West Virginia University graduate student Jason Boyles was the first to detect the millisecond pulsar, spinning nearly 366 times per second, and captured in a system which isn’t any larger than Earth’s orbit around the Sun. This close knit association, coupled with the fact the trio of stars is far denser than the Sun create the perfect conditions to examine the true nature of gravity. Generations of scientists have waited for such an opportunity to study the ‘Strong Equivalence Principle’ postulated in Einstein’s theory of General Relativity. “This triple star system gives us the best-ever cosmic laboratory for learning how such three-body systems work, and potentially for detecting problems with General Relativity, which some physicists expect to see under such extreme conditions,” says first author Scott Ransom of the National Radio Astronomy Observatory (NRAO).

“It was a monumental observing campaign,” comments Jason Hessels, of ASTRON (the Netherlands Institute for Radio Astronomy) and the University of Amsterdam. “For a time we were observing this pulsar every single day, just so we could make sense of the complicated way in which it was moving around its two companion stars.” Hessels led the frequent monitoring of the system with the Westerbork Synthesis Radio Telescope.

Not only did the research team tackle a formidable amount of data, but they also took on the challenge of modeling the system. “Our observations of this system have made some of the most accurate measurements of masses in astrophysics,” says Anne Archibald, also from ASTRON. “Some of our measurements of the relative positions of the stars in the system are accurate to hundreds of meters, even though these stars are about 10,000 trillion kilometers from Earth” she adds.

Leading the study, Archibald created the system simulation which predicts its motions. Using the solid science methods once employed by Isaac Newton to study the Earth-Moon-Sun system, she then combined the data with the ‘new’ gravity of Albert Einstein, which was necessary to make sense of the information. “Moving forward, the system gives the scientists the best opportunity yet to discover a violation of a concept called the Strong Equivalence Principle. This principle is an important aspect of the theory of General Relativity, and states that the effect of gravity on a body does not depend on the nature or internal structure of that body.”

Need a refresher on the equivalence principle? Then if you don’t remember Galileo’s dropping two different weighted balls from the Leaning Tower of Pisa, then perhaps you’ll recall Apollo 15 Commander Dave Scott’s dropping of a hammer and a falcon feather while standing on the airless surface of the Moon in 1971. Thanks to mirrors left on the lunar surface, laser ranging measurements have been studied for years and provide the strongest constraints on the validity of the equivalence principle. Here the experimental masses are the stars themselves, and their different masses and gravitational binding energies will serve to check whether they all fall towards each other according to the Strong Equivalence Principle, or not. “Using the pulsar’s clock-like signal we’ve started testing this,” Archibald explains. “We believe that our tests will be much more sensitive than any previous attempts to find a deviation from the Strong Equivalence Principle.” “We’re extremely happy to have such a powerful laboratory for studying gravity,” Hessels adds. “Similar star systems must be extremely rare in our galaxy, and we’ve luckily found one of the few!”


The restricted three-body problem

The simplest form of the three-body problem is called the restricted three-body problem, in which a particle of infinitesimal mass moves in the gravitational field of two massive bodies orbiting according to the exact solution of the two-body problem. (The particle with infinitesimal mass, sometimes called a massless particle, does not perturb the motions of the two massive bodies.) There is an enormous literature devoted to this problem, including both analytic and numerical developments. The analytic work was devoted mostly to the circular, planar restricted three-body problem, where all particles are confined to a plane and the two finite masses are in circular orbits around their centre of mass (a point on the line between the two masses that is closer to the more massive). Numerical developments allowed consideration of the more general problem.

In the circular problem, the two finite masses are fixed in a coordinate system rotating at the orbital angular velocity, with the origin (axis of rotation) at the centre of mass of the two bodies. Lagrange showed that in this rotating frame there were five stationary points at which the massless particle would remain fixed if placed there. There are three such points lying on the line connecting the two finite masses: one between the masses and one outside each of the masses. The other two stationary points, called the triangular points, are located equidistant from the two finite masses at a distance equal to the finite mass separation. The two masses and the triangular stationary points are thus located at the vertices of equilateral triangles in the plane of the circular orbit.

There is a constant of the motion in the rotating frame that leads to an equation relating the velocity of the massless particle in this frame to its position. For given values of this constant it is possible to construct curves in the plane on which the velocity vanishes. If such a zero-velocity curve is closed, the particle cannot escape from the interior of the closed zero-velocity curve if placed there with the constant of the motion equal to the value used to construct the curve. These zero-velocity curves can be used to show that the three collinear stationary points are all unstable in the sense that, if the particle is placed at one of these points, the slightest perturbation will cause it to move far away. The triangular points are stable if the ratio of the finite masses is less than 0.04, and the particle would execute small oscillations around one of the triangular points if it were pushed slightly away. Since the mass ratio of Jupiter to the Sun is about 0.001, the stability criterion is satisfied, and Lagrange predicted the presence of the Trojan asteroids at the triangular points of the Sun-Jupiter system 134 years before they were observed. Of course, the stability of the triangular points must also depend on the perturbations by any other bodies. Such perturbations are sufficiently small not to destabilize the Trojan asteroids. Single Trojan-like bodies have also been found orbiting at leading and trailing triangular points in the orbits of Neptune and of Saturn’s satellite Tethys, at the leading triangular point in the orbit of another Saturnian satellite, Dione, and at the trailing point in the orbit of Mars.


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