Astronomia

Correlazioni incrociate tra sintesi di Lagrange e Fourier

Correlazioni incrociate tra sintesi di Lagrange e Fourier

Nell'ambito della previsione per grandi rilievi, devo effettuare correlazioni incrociate tra 2D (con coordinate angolari di trasformazione di Lagrange per GC fotometriche e Weak Lensing) e 3D (trasformata di Fourier con coordinate radiali per GC spettroscopica).

Per il momento, si ottiene solo la correlazione incrociata per 2D (GCph+WL+XC), o ciò che chiamiamo punti 3x2 (con XC che rappresenta le correlazioni incrociate).

Ad esempio, un elemento di matrice di Fisher per 3x2pt è espresso come:

dove $epsilon$ intervalli su G (Galaxy), L (lenti deboli) e GL (Galaxy, lenti deboli)

Qualcuno potrebbe dirmi o fornire collegamenti per favore sulle correlazioni incrociate complete tra 2D e 3D, ovvero GCsp + GCph + WL + XC (4x2 punti) nella letteratura?

Al di là di una complicata formula teorica, preferisco saperne di più sullo stato dell'arte.

Voglio dire, vorrei sapere cosa è già stato fatto in questo tentativo di cross-correlazione 2D+3D.

Uno mi ha detto che ci sono stati lavori di Bessel-Fourier o cose simili ma mi piacerebbe avere maggiori informazioni a riguardo.

Qualsiasi aiuto è benvenuto


Correlazioni incrociate: quale dimensione selezionare per la matrice?

Sto lavorando sul formalismo di Fisher per ottenere vincoli sui parametri cosmologici.

Sto cercando di fare una correlazione incrociata tra 2 tipi di popolazioni di galassie (LRG/ELG) in un insieme totale di 3 tipi di popolazione (BGS,LRG,ELG).

Dal seguente articolo https://arxiv.org/pdf/0909.4544.pdf pagina 14, c'è la seguente equazione (63):

Come puoi vedere, nell'eq(63), c'è una somma su ogni coppia di tipi di popolazione. Nel mio caso, ho 3 popolazioni (BGS/LRG/ELG), quindi il termine ##C^<-1>_## dovrebbe avere una dimensione di 4x4 (con ##aa=BGSquad##, ##bb=LRGquad##, ##cc=ELGquad## e ##bc=LRGxELG##) come questo :

##0quad LRGquad LRG/ELGquad LRG/LRGxELG##

##0quad LRG/ELGquad ELGquad ELG/LRGxELG##

Ma se prendo eq(64), eq(65) e lo confronto con la formula eq(63), non riesco a trovare l'espressione del quarto elemento per il fattore di spettro di potenza P_A, ovvero quando l'indice A=4.

Infatti, se seguo ciò che è detto in Paper, "dove A, B etichettano diverse coppie di popolazioni di traccianti"

Infine, dal tuo punto di vista, qual è la dimensione di ##C^<-1>_##, cioè 3x3 o 4x4?

D'altra parte, penso che i termini non diagonali su una matrice di covarianza 4x4 trasferiranno informazioni quando inverto questa, e quindi posso solo sommare ##C^<-1>_## su 3 popolazioni per la coppia (A,B). Voglio dire, il loro contributo rimarrà dopo l'inversione.

Spero che capirai il mio problema su questa somma. Saluti

Allegati


Introduzione

In astronomia ottica, la risoluzione angolare più elevata è attualmente offerta da interferometri fase/ampiezza che combinano la luce proveniente da telescopi separati da linee di base fino a poche centinaia di metri. Risultati allettanti mostrano come i dischi stellari iniziano a risolversi, rivelando le stelle come una diversità di oggetti individuali, sebbene fino ad ora fattibile solo per un piccolo numero di quelli più grandi. Sono stati proposti concetti per estendere tali strutture a scale di un chilometro o più, come richiesto per l'imaging superficiale di stelle luminose con dimensioni tipiche di pochi milliarcosecondi. Tuttavia, la loro realizzazione rimane impegnativa, sia a causa delle stabilità ottiche e atmosferiche richieste entro una frazione di una lunghezza d'onda ottica, sia della necessità di coprire molte linee di base interferometriche (dato che la luce ottica non può essere copiata con la fase trattenuta, ma deve essere divisa e diluita divisori di fascio per ottenere interferenze tra più coppie di telescopi). Mentre i problemi atmosferici potrebbero essere evitati dagli array di telescopi nello spazio, questi sono ostacolati dalla loro complessità e dal loro costo. Tuttavia, i problemi atmosferici possono essere aggirati misurando la coerenza di ordine superiore della luce attraverso l'interferometria di intensità.

Di seguito, presentiamo una dimostrazione in laboratorio di un array multi-telescopio per verificare la sequenza operativa end-to-end dall'osservazione di sorgenti simili a stelle alla ricostruzione delle loro immagini.


2. Matrice di correlazione incrociata del rumore

[9] La correlazione incrociata del rumore nei campioni di visibilità (5) può essere organizzata nella matrice di correlazione incrociata CV = [σpσqρpq] = [〈ΔVkl ΔVmn*〉] di taglia noR 2 × noR 2 dove noR è il numero di ricevitori. Per valutare questa matrice è necessaria la conoscenza della configurazione (Y o U) del particolare sensore: la correlazione incrociata tra le visibilità misurate dal kl e il mn le coppie di ricevitori possono essere trovate se la visibilità delle coppie di ricevitori km e ln sono conosciuti.

[10] Sulla base del risultato precedente, è possibile calcolare la variazione nella stima della temperatura di luminosità. Le visibilità misurate sono correlate alla temperatura di luminosità mediante la trasformata di Fourier discreta bidimensionale dove F è l'operatore di trasformata di Fourier. Nei calcoli reali, il G-matrice [ Ruf et al., 1988 ] può essere usato al posto di F e analogamente alle procedure utilizzate nella stima degli spettri, i risultati vengono migliorati riducendo le visibilità prima della trasformazione. Per obiettivi che variano lentamente come l'umidità del suolo o la salinità dell'oceano, è probabile che il tapering con la funzione di Blackman porti i migliori risultati. Nel Bara et al. [1998] sono stati studiati anche altri taper.

[11] L'ordinamento delle visibilità nel C matrice è dettata dalla configurazione dell'array, mentre l'ordinamento nel F matrice è dettata dai campioni nel piano spaziale delle frequenze. Tuttavia, le colonne di F possono essere scambiati in modo che siano conformi a quelli di C. Sia queste permutazioni rappresentate da a T. Poiché entrambe le configurazioni (Y e U) sono ridondanti, T matrice non è quadrata e le linee di base misurate ridondanti devono essere mediate: le colonne della matrice corrispondenti alle linee di base ridondanti vengono moltiplicate per 1/r dove r è il livello di ridondanza (Figure 1b e 1d). Altrimenti ogni riga di T ne contiene. Questi valori saranno sostituiti dagli opportuni coefficienti di tapering e la matrice sarà contrassegnata come W.

[12] Se un vettore di rumore di visibilità è una realizzazione di rumore gaussiano circolare complesso unità-varianza indipendente, può essere trasformato in vettore di rumore cross-correlato mediante la fattorizzazione di Cholesky della matrice di cross-correlazione R H R = C così che


2. Emersione della funzione di verde e scattering multiplo

[5] L'espressione (3) differisce solo per un fattore di ampiezza F da una vera funzione di Green tra i punti X e . Un'implicazione molto importante di questo risultato è che la funzione di Green tra due posizioni (o almeno i tempi di arrivo dei diversi treni d'onda) può essere estratta dal campo diffuso con una semplice correlazione campo-campo mediata su un valore sufficientemente molto tempo o una distribuzione della fonte sufficientemente estesa.

[6] Weaver e Lobkis [2001a] ha esposto gli argomenti di cui sopra e ha mostrato in esperimenti di laboratorio che la correlazione incrociata media opportunamente filtrata dei campi in due posizioni è la funzione di Green tra i due punti. Gli stessi argomenti valgono anche per un mezzo aperto [ Weaver e Lobkis, 2004]. Sotto l'ipotesi di completa casualità del campo d'onda, Snieder [2004] ha fornito un'interpretazione geometrica dei raggi della ricostruzione.

[7] Argomenti come quelli sopra che dipendono da ipotesi di campi diffusi ben sviluppati sono forse problematici per l'applicazione alla sismologia perché la distribuzione dei terremoti è discreta e irregolare. Inoltre, la durata delle serie temporali disponibili è limitata dalla dissipazione e dal rumore ambientale. Sono previste fluttuazioni di campo che appaiono nella funzione di correlazione come un rumore sovrapposto al segnale deterministico atteso. Piccoli arrivi di energia emergeranno solo dopo una media molto lunga. Nelle applicazioni pratiche con il tipo di dati disponibili, ci aspettiamo quindi di ricostruire solo le parti più energetiche della funzione di Green.

[8] Esperimenti di laboratorio con ultrasuoni e simulazioni numeriche aiutano a indagare la possibilità di ricostruire la funzione di Green in condizioni vicine a quelle riscontrate in sismologia. Derode et al. [2003a , 2003b] ha ​​proposto un'interpretazione dell'emergere della funzione di Green esatta dalla correlazione incrociata dei campi ricevuti da due sensori passivi in ​​un mezzo eterogeneo. La loro argomentazione si basa su un'analogia della media di una funzione di cross-correlazione su una serie di sorgenti con un'operazione fisica di inversione temporale che può essere eseguita in laboratorio [ Fink, 1992 Wu et al., 1992]. L'operazione di correlazione incrociata del segnale prodotto da una sorgente in S ai ricevitori in UN e B è formalmente equivalente ad avere una fonte in UN producendo onde registrate in S, invertito nel tempo e riemesso da S essere registrato in B [ Derode et al., 2003a]. Quest'ultima operazione è esattamente ciò che si realizza in uno specchio ad inversione temporale. Questa analogia mostra come la correlazione incrociata sia correlata alla propagazione dell'onda fisica.

[9] Illustriamo questo punto con simulazioni numeriche condotte in un mezzo acustico bidimensionale (2-D). Questa configurazione è stata scelta perché è un modo semplice per descrivere la propagazione delle onde sulla superficie della Terra. Risolviamo l'equazione delle onde usando un codice alle differenze finite [ Tanter, 1999 Derode et al., 2001]. Il campo prodotto da ciascuna delle diverse fonti S viene calcolato in ogni punto del mezzo. Consideriamo un mezzo debolmente scattering, dove la distanza di propagazione è minore del cammino libero medio di trasporto delle onde. Ricordiamo che il trasporto significa percorso libero io* è la distanza tipica dopo la quale l'energia diffusa di un'onda in una particolare direzione viene distribuita su tutte le direzioni. Lo scattering è causato da una distribuzione di piccoli scatterer rigidi con raggio un. La velocità di fondo è 3,3 km.s -1 . Il prodotto del numero d'onda K dal raggio un uguale a 1. Seguendo l'analogia dell'inversione temporale sviluppata da Derode et al. [2003a] , scegliamo di posizionare le fonti S tutto intorno UN (il punto di riferimento al centro della griglia contrassegnato con una croce in Figura 1a) in modo da formare un equivalente di un perfetto specchio di inversione temporale. Questa configurazione è illustrata nella Figura 1a. Ogni sorgente S invia un impulso a banda larga con frequenza centrale di 0,1 Hz. Le correlazioni sono calcolate tra il campo hSA(t) nel punto di riferimento UN e il campo hSR(t) in qualsiasi altro punto R(X, ) della griglia. La correlazione è mediata sull'intero insieme di sorgenti S. Il campo d'onda ricostruito dalle correlazioni è visualizzato nella Figura 1 per i tempi di correlazione -30, 0 e 30 s. Tempo t = 0 è il tempo centrale delle correlazioni, quando tutta l'energia è focalizzata in UN come se UN era una fonte. Nei momenti negativi osserviamo un fronte d'onda convergente e nei momenti positivi un fronte d'onda divergente. Questi fronti d'onda corrispondono alle parti causale (tempi positivi) e anticausale (tempi negativi) della funzione di Green tra UN e qualsiasi punto R nel mezzo. La ricostruzione quasi perfetta della funzione di Green (compresi i fronti d'onda convergenti e divergenti) è dovuta alla distribuzione quasi ideale delle sorgenti intorno UN, la lunghezza della coda (purché consentito dagli schemi numerici: 200 oscillazioni) e l'assenza di assorbimento. Questo esperimento numerico mostra che la correlazione incrociata corrisponde a un processo fisico e non è un artificio di elaborazione del segnale.

[10] Derode et al. [2003b] e Larose et al. [2004] ha mostrato il ruolo dello scattering multiplo nel migliorare l'efficienza della ricostruzione della funzione di Green con un numero limitato di sorgenti e durate finite di registrazione, in condizioni più vicine alla sismologia. Poiché in sismologia la durata delle registrazioni è limitata dalla presenza di rumore e dall'assorbimento, è necessario fare la media su un insieme di sorgenti diverse per aspettarsi l'emergere della funzione di Green. I limiti della ricostruzione saranno discussi nella sezione 3 dopo un'applicazione di questo semplice principio a un set di dati di sismogrammi reali.


Contenuti

La convoluzione di f e g è scritta fg , indicando l'operatore con il simbolo ∗ . [B] È definito come l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una è stata invertita e spostata. Come tale, è un particolare tipo di trasformata integrale:

Una definizione equivalente è (vedi commutatività):

Sebbene il simbolo t sia usato sopra, non è necessario che rappresenti il ​​dominio del tempo. Ma in quel contesto, la formula di convoluzione può essere descritta come l'area sotto la funzione f(tu) pesato dalla funzione g(–tu) spostato di importo t . Al variare di t, la funzione di ponderazione g(ttu) enfatizza diverse parti della funzione di input f(tu) .

Per le funzioni f , g supportate solo su [0, ∞) (ovvero zero per argomenti negativi), i limiti di integrazione possono essere troncati, risultando in:

Per la formulazione multidimensionale della convoluzione, cfr dominio di definizione (sotto).

Notazione Modifica

Una convenzione di notazione ingegneristica comune è: [2]

che deve essere interpretato con attenzione per evitare confusione. Per esempio, f(t)∗g(tt0) è equivalente a (fg)(tt0) , ma f(tt0)∗g(tt0) è infatti equivalente a (fg)(t − 2t0) . [3]

Derivazioni Modifica

La convoluzione descrive l'output (in termini di input) di un'importante classe di operazioni nota come lineare tempo-invariante (LTI). Vedere la teoria del sistema LTI per una derivazione della convoluzione come risultato dei vincoli LTI. In termini di trasformate di Fourier dell'input e dell'output di un'operazione LTI, non vengono create nuove componenti di frequenza. Quelli esistenti vengono solo modificati (ampiezza e/o fase). In altre parole, la trasformata di output è il prodotto puntuale della trasformata di input con una terza trasformata (nota come funzione di trasferimento). Vedi Teorema di convoluzione per una derivazione di quella proprietà di convoluzione. Viceversa, la convoluzione può essere derivata come l'inversa trasformata di Fourier del prodotto puntuale di due trasformate di Fourier.

Uno dei primi usi dell'integrale di convoluzione è apparso nella derivazione di D'Alembert del teorema di Taylor in Recherches sur diversi punti importanti del sistema del mondo, pubblicato nel 1754. [4]

Inoltre, un'espressione del tipo:

è usato da Sylvestre François Lacroix a pagina 505 del suo libro intitolato Trattato delle differenze e delle serie, che è l'ultimo di 3 volumi della serie enciclopedica: Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, Chez Courcier, Parigi, 1797-1800. [5] Subito dopo, le operazioni di convoluzione compaiono nelle opere di Pierre Simon Laplace, Jean-Baptiste Joseph Fourier, Siméon Denis Poisson e altri. Il termine stesso non è stato ampiamente utilizzato fino agli anni '50 o '60. Prima di allora era a volte conosciuto come Faltung (che significa pieghevole in tedesco), prodotto di composizione, integrale di sovrapposizione, e Integrale di Carsonson. [6] Eppure appare già nel 1903, sebbene la definizione sia piuttosto sconosciuta negli usi più antichi. [7] [8]

è un caso particolare di prodotti di composizione considerati dal matematico italiano Vito Volterra nel 1913. [9]

Quando una funzione gT è periodica, con periodo T , allora per funzioni, f , tale che fgT esiste, la convoluzione è anche periodica e identica a:

dove t0 è una scelta arbitraria. La sommatoria è detta sommatoria periodica della funzione f .

quando gT è una sommatoria periodica di un'altra funzione, g , allora fgT è noto come a circolare o ciclico convoluzione di f e g .

E se la sommatoria periodica di cui sopra è sostituita da fT , l'operazione si chiama a periodico convoluzione di fT e gT .

Per funzioni a valori complessi f, g definito sul set Z di interi, il convoluzione discreta di f e g è dato da: [10]

La convoluzione di due successioni finite è definita estendendo le successioni a funzioni finitamente supportate sull'insieme degli interi. Quando le successioni sono i coefficienti di due polinomi, allora i coefficienti del prodotto ordinario dei due polinomi sono la convoluzione delle due successioni originarie. Questo è noto come prodotto di Cauchy dei coefficienti delle sequenze.

Convoluzione discreta circolare Modifica

Quando una funzione gno è periodico, con periodo no , allora per funzioni, f , tale che fgno esiste, la convoluzione è anche periodica e identica a:

La sommatoria su k è detta somma periodica della funzione f .

Se gno è una sommatoria periodica di un'altra funzione, g , allora fgno è nota come convoluzione circolare di f e g .

Quando le durate diverse da zero di f e g sono limitate all'intervallo [0, no−1] , fgno si riduce a queste forme comuni:

La notazione ( fno g ) per convoluzione ciclica denota convoluzione sul gruppo ciclico di interi modulo no .

La convoluzione circolare si presenta più spesso nel contesto della convoluzione veloce con un algoritmo di trasformata di Fourier veloce (FFT).

Algoritmi di convoluzione veloce Modifica

In molte situazioni, le convoluzioni discrete possono essere convertite in convoluzioni circolari in modo che le trasformazioni veloci con una proprietà di convoluzione possano essere utilizzate per implementare il calcolo. Ad esempio, la convoluzione di sequenze di cifre è l'operazione del kernel nella moltiplicazione di numeri a più cifre, che può quindi essere efficacemente implementata con tecniche di trasformazione (Knuth 1997, §4.3.3.C von zur Gathen & Gerhard 2003, §8.2).

Eq.1 richiede N operazioni aritmetiche per valore di uscita e no 2 operazioni per N uscite. Ciò può essere notevolmente ridotto con uno qualsiasi dei numerosi algoritmi veloci. L'elaborazione del segnale digitale e altre applicazioni in genere utilizzano algoritmi di convoluzione rapida per ridurre il costo della convoluzione alla complessità O(N log N).

Gli algoritmi di convoluzione veloce più comuni utilizzano algoritmi di trasformata di Fourier veloce (FFT) tramite il teorema di convoluzione circolare. In particolare, la convoluzione circolare di due sequenze di lunghezza finita si trova prendendo una FFT di ciascuna sequenza, moltiplicandola per punto e quindi eseguendo una FFT inversa. Le convoluzioni del tipo sopra definito vengono quindi implementate in modo efficiente utilizzando tale tecnica in combinazione con porzioni di estensione zero e/o scarto dell'output. Altri algoritmi di convoluzione veloce, come l'algoritmo di Schönhage–Strassen o la trasformata di Mersenne, [12] usano trasformate veloci di Fourier in altri anelli.

Se una sequenza è molto più lunga dell'altra, l'estensione zero della sequenza più corta e la convoluzione circolare veloce non sono il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale disponibile. [13] Invece, la scomposizione della sequenza più lunga in blocchi e la convoluzione di ciascun blocco consente algoritmi più veloci come il metodo Overlap-save e Overlap-add. [14] Un metodo di convoluzione ibrido che combina algoritmi a blocchi e FIR consente una latenza input-output zero che è utile per i calcoli di convoluzione in tempo reale. [15]

La convoluzione di due funzioni a valori complessi su R d è di per sé una funzione a valori complessi su R d , definito da:

ed è ben definita solo se f e g decadono sufficientemente rapidamente all'infinito affinché l'integrale esista. Le condizioni per l'esistenza della convoluzione possono essere complicate, poiché un ingrandimento in g all'infinito può essere facilmente compensato da un decadimento sufficientemente rapido in f . La questione dell'esistenza quindi può comportare condizioni diverse su f e g :

Funzioni supportate in modo compatto Modifica

Se f e g sono funzioni continue supportate in modo compatto, allora la loro convoluzione esiste, ed è anche supportata in modo compatto e continua (Hörmander 1983, capitolo 1). Più in generale, se una delle due funzioni (diciamo f ) è supportata in modo compatto e l'altra è integrabile localmente, allora la convoluzione fg è ben definito e continuo.

Anche la convoluzione di f e g è ben definita quando entrambe le funzioni sono integrabili localmente al quadrato su R e supportato su un intervallo della forma [un, +∞) (o entrambi supportati su [−∞, un] ).

Funzioni integrabili Modifica

La convoluzione di f e g esiste se f e g sono entrambe funzioni integrabili di Lebesgue in l 1 ( R d ), e in questo caso fg è anche integrabile (Stein & Weiss 1971, Teorema 1.3). Questa è una conseguenza del teorema di Tonelli. Questo vale anche per le funzioni in l 1, sotto la convoluzione discreta, o più in generale per la convoluzione su qualsiasi gruppo.

Allo stesso modo, se fl 1 ( R d ) e gl p ( R d ) dove 1 ≤ p ≤ ∞ , allora fgl p ( R d ), e

Nel caso particolare p = 1 , questo mostra che l 1 è un'algebra di Banach sotto la convoluzione (e l'uguaglianza dei due lati vale se f e g sono non negativi quasi ovunque).

Più in generale, la disuguaglianza di Young implica che la convoluzione sia una mappa bilineare continua tra opportuni l p spazi. In particolare, se 1 ≤ p, q, r ∞ soddisfare:

in modo che la convoluzione sia una mappatura bilineare continua da l p ×l q per l r . La disuguaglianza di Young per convoluzione è vera anche in altri contesti (gruppo cerchio, convoluzione su Z ). La disuguaglianza precedente non è netta sulla retta reale: quando 1 < p, q, r < ∞ , esiste una costante Bp,q < 1 tale che:

Il valore ottimale di Bp,q fu scoperto nel 1975 [16] e indipendentemente nel 1976, [17] vedi disuguaglianza di Brascamp-Lieb.

Una stima più forte è vera purché 1 < p, q, r < :

Funzioni di decadimento rapido Modifica

Oltre alle funzioni supportate in modo compatto e alle funzioni integrabili, possono essere convolute anche funzioni che hanno un decadimento sufficientemente rapido all'infinito. Una caratteristica importante della convoluzione è che se f e g entrambi decadono rapidamente, quindi fg decade anche rapidamente. In particolare, se f e g sono funzioni rapidamente decrescenti, allora lo è anche la convoluzione fg. In combinazione con il fatto che la convoluzione commuta con la differenziazione (vedi #Properties), ne consegue che la classe delle funzioni di Schwartz è chiusa rispetto alla convoluzione (Stein & Weiss 1971, Teorema 3.3).

Distribuzioni Modifica

In alcune circostanze è possibile definire la convoluzione di una funzione con una distribuzione, o di due distribuzioni. Se f è una funzione supportata in modo compatto e g è una distribuzione, allora fg è una funzione regolare definita da una formula distributiva analoga a

Più in generale, è possibile estendere in modo univoco la definizione di convoluzione in modo che la legge associativa

resta valido nel caso in cui f è una distribuzione, e g una distribuzione supportata in modo compatto (Hörmander 1983, §4.2).

Misure Modifica

La convoluzione di due misure di Borel qualsiasi μ e ν di variazione limitata è la misura μ ​​∗ ν definita da (Rudin 1962)

Ciò concorda con la convoluzione sopra definita quando μ e ν sono considerati distribuzioni, così come la convoluzione delle funzioni L 1 quando μ e ν sono assolutamente continui rispetto alla misura di Lebesgue.

La convoluzione delle misure soddisfa anche la seguente versione della disuguaglianza di Young

dove la norma è la variazione totale di una misura. Poiché lo spazio delle misure di variazione limitata è uno spazio di Banach, la convoluzione delle misure può essere trattata con metodi standard di analisi funzionale che potrebbero non essere applicabili alla convoluzione delle distribuzioni.

Proprietà algebriche Modifica

La convoluzione definisce un prodotto sullo spazio lineare di funzioni integrabili. Questo prodotto soddisfa le seguenti proprietà algebriche, che formalmente significano che lo spazio delle funzioni integrabili con il prodotto dato dalla convoluzione è un'algebra associativa commutativa senza identità (Strichartz 1994, §3.3). Altri spazi lineari di funzioni, come lo spazio delle funzioni continue di supporto compatto, sono chiusi sotto la convoluzione, e quindi formano anche algebre associative commutative.

Cambiando la variabile di integrazione in u = t − u il risultato segue.

Dimostrazione: Ciò deriva dall'uso del teorema di Fubini (cioè, gli integrali doppi possono essere valutati come integrali iterati in entrambi gli ordini).

Dimostrazione: Questo segue dalla linearità dell'integrale.

Associatività con moltiplicazione scalare a ( f ∗ g ) = ( a f ) ∗ g

per qualsiasi numero reale (o complesso) a .

Nessuna algebra di funzioni possiede un'identità per la convoluzione. La mancanza di identità in genere non è un grosso inconveniente, poiché la maggior parte degli insiemi di funzioni su cui viene eseguita la convoluzione può essere convoluta con una distribuzione delta (un impulso unitario, centrato a zero) o, per lo meno (come nel caso di l 1) ammette approssimazioni all'identità. Lo spazio lineare delle distribuzioni supportate in modo compatto, tuttavia, ammette un'identità sotto la convoluzione. Nello specifico,

dove δ è la distribuzione delta.

Alcune distribuzioni S avere un elemento inverso S −1 per la convoluzione che poi deve soddisfare

da cui una formula esplicita per S -1 può essere ottenuto. L'insieme delle distribuzioni invertibili forma un gruppo abeliano sotto la convoluzione.

Integrazione Modifica

Se f e g sono funzioni integrabili, allora l'integrale della loro convoluzione sull'intero spazio si ottiene semplicemente come prodotto dei loro integrali:

Questo segue dal teorema di Fubini. Lo stesso risultato vale se f e g si assumono solo funzioni misurabili non negative, per il teorema di Tonelli.

Differenziazione Modifica

dove d/dx è la derivata. Più in generale, nel caso di funzioni a più variabili, vale una formula analoga con la derivata parziale:

Una conseguenza particolare di ciò è che la convoluzione può essere vista come un'operazione di "smussatura": la convoluzione di f e g è differenziabile tante volte quanto f e g sono in totale.

Queste identità sono mantenute alla precisa condizione che f e g sono assolutamente integrabili e almeno una di esse ha una derivata debole assolutamente integrabile (L 1 ), come conseguenza della disuguaglianza di convoluzione di Young. Ad esempio, quando f è continuamente differenziabile con supporto compatto, e g è una funzione arbitraria localmente integrabile,

Queste identità valgono anche in modo molto più ampio nel senso di distribuzioni temperate se uno di f o g è una distribuzione temperata rapidamente decrescente, una distribuzione temperata supportata in modo compatto o una funzione di Schwartz e l'altra è una distribuzione temperata. D'altra parte, due funzioni integrabili positive e infinitamente differenziabili possono avere una convoluzione nulla continua.

Nel caso discreto, l'operatore differenza D f(n) = f(n + 1) − f(n) soddisfa una relazione analoga:

D ( f ∗ g ) = ( D f ) ∗ g = f ∗ ( D ​​g ) .

Teorema di convoluzione Modifica

Equivarianza traslazionale Modifica

La convoluzione commuta con le traduzioni, il che significa che

dove seiXf è la traduzione della funzione f di X definito da

Se f è una funzione di Schwartz, allora tuXf è la convoluzione con una funzione delta di Dirac tradotta tuXf = ftuX δ. Quindi l'invarianza traslazionale della convoluzione delle funzioni di Schwartz è una conseguenza dell'associatività della convoluzione.

Inoltre, in determinate condizioni, la convoluzione è l'operazione invariante di traslazione più generale. Informalmente parlando, vale quanto segue

  • Supporre che S è un operatore lineare limitato che agisce su funzioni che commuta con le traslazioni: S(tuXf) = tuX(Sf) per tutti X. Poi S è dato come convoluzione con una funzione (o distribuzione) gS questo è Sf = gSf.

Quindi alcune operazioni invarianti di traslazione possono essere rappresentate come convoluzioni. Le convoluzioni giocano un ruolo importante nello studio dei sistemi tempo-invarianti, e in particolare nella teoria dei sistemi LTI. La funzione rappresentativa gS è la risposta all'impulso della trasformazione S.

Una versione più precisa del teorema sopra citato richiede di specificare la classe di funzioni su cui è definita la convoluzione, e richiede anche di assumere in aggiunta che S deve essere un operatore lineare continuo rispetto alla topologia appropriata. È noto, ad esempio, che ogni operatore lineare continuo invariante di traslazione continua su l 1 è la convoluzione con una misura Borel finita. Più in generale, ogni operatore lineare continuo invariante di traslazione continua su l p per 1 p < ∞ è la convoluzione con distribuzione temperata la cui trasformata di Fourier è limitata. Vale a dire, sono tutti dati da moltiplicatori di Fourier limitati.

Se G è un opportuno gruppo dotato di misura , e se f e g sono funzioni integrabili a valori reali o complessi su G, allora possiamo definire la loro convoluzione con

Non è commutativo in generale. In casi tipici di interesse G è un gruppo topologico di Hausdorff localmente compatto e è una misura di Haar (a sinistra). In tal caso, a meno che G è unimodulare, la convoluzione così definita non è la stessa di ∫ f ( xy − 1 ) g ( y ) d λ ( y ) )g(y ),dlambda (y)>> . La preferenza dell'uno sull'altro è fatta in modo che la convoluzione con una funzione fissa fixed g commuta con traduzione a sinistra nel gruppo:

L h ( f ∗ g ) = ( L h f ) ∗ g . (f*g)=(L_f)*g.>

Inoltre, la convenzione è necessaria anche per coerenza con la definizione della convoluzione delle misure di seguito riportata. Tuttavia, con una misura di Haar destra anziché sinistra, quest'ultimo integrale è preferito al primo.

Sui gruppi abeliani localmente compatti, vale una versione del teorema di convoluzione: la trasformata di Fourier di una convoluzione è il prodotto puntuale delle trasformate di Fourier. Il gruppo del cerchio T con il provvedimento Lebesgue ne è un esempio immediato. Per un fisso g nel l 1 (T), abbiamo il seguente operatore familiare che agisce sullo spazio di Hilbert l 2 (T):

L'operatore T è compatto. Un calcolo diretto mostra che il suo aggiunto T* è convoluzione con

Per la proprietà commutativa sopra citata, T è normale: T* T = TT* . Anche, T commuta con gli operatori di traduzione. Considera la famiglia S di operatori costituiti da tutte queste circonvoluzioni e dagli operatori di traduzione. Poi S è una famiglia pendolare di normali operatori. Secondo la teoria spettrale, esiste una base ortonormale <hK> che diagonalizza contemporaneamente S. Questo caratterizza le circonvoluzioni sul cerchio. Nello specifico, abbiamo

quali sono proprio i caratteri di T. Ogni convoluzione è un operatore di moltiplicazione compatto in questa base. Questo può essere visto come una versione del teorema di convoluzione discusso sopra.

Un esempio discreto è un gruppo ciclico finito di ordine n. Gli operatori di convoluzione sono qui rappresentati da matrici circolanti e possono essere diagonalizzati dalla trasformata discreta di Fourier.

Un risultato simile vale per i gruppi compatti (non necessariamente abeliani): i coefficienti di matrice delle rappresentazioni unitarie a dimensione finita formano una base ortonormale in l 2 dal teorema di Peter-Weyl, e un analogo del teorema di convoluzione continua a valere, insieme a molti altri aspetti dell'analisi armonica che dipendono dalla trasformata di Fourier.

Permettere G essere un gruppo topologico (scritto in modo moltiplicativo). Se μ e ν sono finiti misure di Borel su G, quindi la loro convoluzione μν è definita come la misura pushforward dell'azione di gruppo e può essere scritta come

per ogni sottoinsieme misurabile E di G. La convoluzione è anche una misura finita, la cui variazione totale soddisfa

Nel caso in cui G è localmente compatto con (sinistra)Haar misura λ, e μ e ν sono assolutamente continui rispetto a , così che ciascuno ha una funzione di densità, allora anche la convoluzione μ∗ν è assolutamente continua, e la sua funzione di densità è solo la convoluzione delle due funzioni di densità separate.

Se μ e ν sono misure di probabilità sul gruppo topologico (R,+), quindi la convoluzione μν è la distribuzione di probabilità della somma X + di due variabili casuali indipendenti X e le cui rispettive distribuzioni sono μ e ν.

Permettere (X, Δ, ∇, ε, η) essere una bialgebra con comoltiplicazione Δ, moltiplicazione ∇, unità η e counit ε. La convoluzione è un prodotto definito sull'endomorfismo algebra End(X) come segue. Permettere φ, ψ ∈ Fine(X), questo è, φ,ψ : XX sono funzioni che rispettano tutta la struttura algebrica di X, quindi la convoluzione φψ è definita come la composizione

La convoluzione appare in particolare nella definizione delle algebre di Hopf (Kassel 1995, §III.3). Una bialgebra è un'algebra di Hopf se e solo se ha un antipodo: un endomorfismo S tale che

La convoluzione e le operazioni correlate si trovano in molte applicazioni in scienze, ingegneria e matematica.


Sintesi empirica di funzioni di Green asimmetriche nel tempo dalla correlazione delle onde coda

Anche al Laboratoire de Physique et Modélisation des Milieux Condensés, Université Joseph Fourier e CNRS, Grenoble, Francia.

Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier e CNRS, Grenoble, Francia

Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France

Laboratoire Ondes et Acoustique, Université Paris 7 and CNRS, Paris, France

Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France

Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France

Also at Laboratoire de Physique et Modélisation des Milieux Condensés, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France.

Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France

Laboratoire de Géophysique Interne et Tectonophysique, Observatoire de Grenoble, Université Joseph Fourier and CNRS, Grenoble, France

Laboratoire Ondes et Acoustique, Université Paris 7 and CNRS, Paris, France

Abstract

[1] We demonstrate the existence of long-range field correlations in the seismic coda of regional records in Alaska. The cross correlations between the different components of coda records at two points are measured for a set of distant earthquakes. Remarkably, while individual correlations have a random character, the correlations averaged over source and time exhibit deterministic arrivals that obey the same symmetry rules as the Green tensor between the two points. In addition, the arrival times of these waves coincide with propagating surface waves between the two stations. Thus we propose to identify the averaged correlation signals with the surface wave part of the Green tensor. We observe the causal and anticausal parts of the Green function. However, we find experimentally that amplitudes at positive and negative times are not equal. We explain this observation by the long-lasting anisotropy of the diffuse field. We show that the flux of energy coming from the source can still dominate the late coda and result in nonsymmetric cross correlations when the distribution of earthquakes is not isotropic around the stations. The extraction of Green functions from coda waves allows new types of measurements with seismic waves along paths between stations that could not be obtained with the waves produced by earthquakes.


6. Summary

[25] As can be see from a cursory examination of Figure 1, Wivenhoe Dam water temperatures vary in a complex manner across both time and depth. We can simplify the task of describing these data through our proposed DSA decomposition, which is a variation on wavelet-based MRA. The motivation for this variation is to combine components from the usual MRA into components that capture daily, subannual, and annual fluctuations. The partitioning afforded by the DSA transform leads to a simple way of quantifying the key sources of variability in the data, yielding a component-based description of how water temperatures vary across time and how they are related at different depths. This approach is largely descriptive, but addresses some of the questions that could be answered more formally through a statistical modeling approach. Our exploratory analysis suggests what components would be needed in a formal time/depth model to address questions of interest to scientists (e.g., how exactly the thermocline manifests itself across time/depth in terms of correlations). An item for future work is to study the other water quality indicators collected by the profiling system (particularly chlorophyll un, turbidity, dissolved oxygen, and specific conductivity) and their relationship to temperature.

[26] In addition to our analysis of water temperatures, our paper makes four technical contributions. We propose a frequency domain method for constructing a filter that collectively combines the wavelet coefficients across different levels into a single set of coefficients that can be used to track inhomogeneity of variance across time (Appendix B). We devise a scheme for filling in gaps in the water temperature databased upon the DSA decomposition (Appendix C). The idea of doing gap filling on a component-by-component basis is presumably of interest in other applications. We propose a method for handling wavelet-transform boundary conditions that is appropriate for our data (Appendix D). This method is appropriate for use with any other time series whose behavior at the boundaries is roughly characterized by a linear increase or decrease. Finally, we adapt the statistical theory for the standard boxcar windowed wavelet variance estimator to work with a Gaussian windowed variance estimator based upon the daily and subannual coefficients from the DSA transform (Appendix E).


7 Uneven Source Distributions and “Spurious Arrivals”

Our derivation so far is based on the hypothesis that the geographic distribution of noise sources be close to uniform with respect to source-receiver azimuth. The stationary-phase formulae of Appendix A only hold if f è un liscio function of X in equation A1 and of both X e in equation A3 the source distributions nC, nM, e nS must accordingly be smooth with respect to φ e/o θ for the treatment of section 5 to be valid. The integral in equation 103 likewise extends to the whole boundary of the volume V containing the receivers: if V is not covered densely and uniformly by sources, noise cross correlation does not coincide with the right-hand side of equation 103, and G is not properly reconstructed.

Noise sources are generally not uniformly distributed in practical applications, and we know, e.g., from Mulargia [ 2012 ], that seismic ambient noise on Earth is not strictly diffuse. We illustrate the consequences of significant inhomogeneities in source distribution with a simple model. As in sections 4.3 and 5.3, receivers R1 and R2, lying 20 km from one another on a membrane of infinite extension, are surrounded by a circle of sources whose center is R1 and whose radius is 100 km (Figure 11). We numerically convolve a Ricker wavelet (central frequency of 1 Hz) with the Green's function G2D for each of the sources in question. Using a wavelet rather than an impulse allows to better visualize the effects we are interested in. For each location of the source, we cross correlate the corresponding signals at R1 and R2 and plot the cross correlations in Figure 12a. The result of stacking the cross correlations, shown in Figure 12b, is consistent with the results of section 5.3, after modulating the Green's function with the Ricker wavelet (we shall speak of “Ricker response” instead of Green's function). We next average only the cross correlations associated with sources denoted in green in Figure 11 and, finally, only those associated with the “yellow” sources of Figure 11. Two inferences can be made from Figure 12c, where both averages are shown: (i) if only the yellow sources are “on,” and energy only travels in the direction R2→R1, only the anticausal Ricker's response between R1 and R2 emerges from averaging likewise, only the causal part shows up if only sources to the left of R1 are active. (ii) While both causal and anticausal arrivals in Figure 12b approximately coincide with those of Figure 12c, the curves in Figure 12c contain two additional arrivals, corresponding to the two azimuths where both source distributions in Figure 11 abruptly end. These arrivals, usually referred to as spurious, have no relation to the Ricker response they are artifacts caused by strong inhomogeneities in the source distribution. Spurious arrivals are likely to affect field data and can be identified in laboratory (physical acoustics) data.


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