Astronomia

Perché le perturbazioni gravitazionali sono più forti nei semiassi maggiori più grandi?

Perché le perturbazioni gravitazionali sono più forti nei semiassi maggiori più grandi?

Perché i meccanismi come l'effetto Kozai-Lidov sono più evidenti nei grandi semiassi maggiori?

Se avessimo un sistema binario di un corpo primario e secondario, con il terzo perturbatore come il Sole. Perché il secondario sente più perturbazioni dall'influenza gravitazionale del sole quanto più è lontano dal primario?


"Perché il secondario sente più perturbazioni dall'influenza gravitazionale del sole quanto più è lontano dal primario?"

In breve, è perché l'accelerazione perturbante netta sul secondario è proprio la differenza (vettoriale) tra (a) l'attrazione accelerativa verso il corpo perturbante sperimentata dal secondario, e (b) l'attrazione accelerativa verso il corpo perturbante sperimentata dal primario.

Quindi, più il secondario è vicino al primario, più le due attrazioni verso il perturbatore sono quasi uguali per dimensione e direzione e più vicina allo zero è la loro differenza di vettore. Un altro risultato è che tanto più simili sono le variazioni di velocità in dimensione e direzione prodotte dalle accelerazioni perturbanti nel primario e nel secondario, e più vicina allo zero è la perturbazione risultante nei loro movimenti l'uno rispetto all'altro.

Questo è noto da tempo come conseguenza del sesto corollario di Newton alle leggi del moto: "Se i corpi, comunque mossi tra loro, sono spinti nella direzione di rette parallele da eguali forze acceleranti, continueranno tutti a muoversi tra loro. stessi nello stesso modo come se non fossero stati spinti da tali forze."

Poiché può esserci un'immensa varietà nelle possibili traiettorie del primario e del secondario a parte le perturbazioni, qualsiasi illustrazione dettagliata può sviluppare rapidamente espressioni trigonometriche massicce e intricate.

Ma in tutti i casi, compreso quello dell'effetto Kozai-Lidov, l'entità dell'effetto, per quanto complessa sia la sua forma, dipende dall'entità delle accelerazioni perturbanti nette.

Una configurazione molto semplificata può almeno mostrare con l'esempio come una forza perturbante netta, che influenza il moto relativo di primario e secondario, è quasi direttamente proporzionale alla prima potenza della distanza tra primario e secondario - sebbene dipenda ovviamente anche da ulteriori fattori dovuti a cambiamenti nella configurazione angolare.

Il diagramma seguente indica alcune configurazioni molto semplificate.

Supponiamo prima che il primario (E) e il secondario (M) siano per un istante allineati al corpo perturbante (S), con M in M1 tra E e S. Sia s la distanza ES, e d la distanza EM (con d

Con queste approssimazioni, le attrazioni accelerative di S su M e S su E sono rispettivamente $ k/(sd)^2 $ e $ k/s^2 ,$ e l'accelerazione perturbante netta su M è la differenza $ ( k/( sd)^2 - k/s^2 ) .$

Ponendo $ s(1-d/s) $ per (sd), e usando l'espansione binomiale di $ 1/(1-d/s)^2 $ , si vede che i termini in $ k/s^2 $ si annullano , lasciando la forza perturbante netta come $ k/s^2 * (2d/s) $ , più termini nelle potenze maggiori di d/s, cioè in $ kd^2/s^4 $ e così via.

Dove d è molto più piccolo di s, i termini di maggiore potenza in d/s possono essere trascurati, e quindi l'accelerazione perturbante netta su M in M1 nella configurazione-esempio scelta è approssimata da vicino di $ +2 kd / s^3 $ , lontano da E e verso S.

Se invece la configurazione ha M in M2 in modo che E sia in linea tra M e S, allora l'accelerazione perturbante netta su M diventa chiaramente $ ~ -2 k d / s^3 $ , cioè lontano da E e lontano da S.

Se invece M è in M3, con la retta EM3 ortogonale a ES, e se anche l'angolo ESM3 può essere trattato come sufficientemente piccolo da poter approssimare il suo coseno a 1 e il suo seno d/s , allora è facilmente trovato che l'accelerazione perturbante netta su M in M3 è approssimativamente $ kd/s^3 $ verso E, trascurando ancora le potenze maggiori di d/s.

Se M è in una posizione intermedia M4, e D rappresenta l'angolo ESM4, si può vedere usando un po' più di trigonometria che l'accelerazione perturbante netta su M in M4, nelle ipotesi già fatte, ha una componente parallela alla retta ES di circa $ +2 kd cos D / s^3 $, e una componente perpendicolare alla linea ES (agendo sempre verso la linea ES) di circa $ kd sin D / s^3 $.

Tutte le componenti sono proporzionali alla separazione EM d, nella misura in cui le serie omesse di termini nelle potenze superiori di d/s possono essere trattate come trascurabili come è stato fatto qui.


Traiettorie di veicoli spaziali

Anche nelle prime missioni lunari e planetarie, era necessario tenere traccia della traiettoria del veicolo spaziale e impartire comandi per le funzioni di bordo sia ingegneristiche che scientifiche. A poco a poco si sviluppò un'arte di uomini e macchine, rappresentata oggi da grandi stanze piene di persone e display supportati da edifici pieni di computer e sistemi di dati. Inizialmente concentrate nei teatri principali, man mano che le missioni sono diventate più complesse, queste strutture si sono disperse, fornendo spazi di lavoro per i numerosi team specializzati di gestione del volo e scientifici che lavorano durante una missione. Con Internet e altre comunicazioni moderne disponibili, gli scienziati possono ora risiedere nelle loro istituzioni di origine e partecipare a missioni in tempo reale.

L'ultima tendenza è verso l'aumento dell'autonomia a bordo, che mantiene la promessa di ridurre l'ampio personale necessario 24 ore su 24 per controllare le missioni. Un certo grado di autonomia è comunque necessario nello spazio profondo, semplicemente a causa dei tempi del segnale di andata e ritorno per veicoli spaziali distanti, decine di minuti per Marte e Venere e molte ore nel sistema solare esterno.

Le operazioni sono diventate sempre più dipendenti da software la cui progettazione e verifica costituiscono ormai una delle principali voci di costo nel budget di ogni nuova missione. Con la maturazione delle operazioni artistiche sono arrivate numerose storie di notevoli salvataggi quando un robot lontano (o, come in Apollo 13, un equipaggio umano) si è messo nei guai, ma ci sono anche casi in cui un errore sulla Terra ha mandato una missione nell'oblio.


1. Introduzione

La Dinamica Newtoniana Modificata (MOND) è stata proposta in [15] come alternativa al paradigma della materia oscura (vedi [16]). A livello non relativistico, la migliore formulazione di MOND è l'equazione di Poisson modificata (vedi [2] ),

dove è la densità della materia ordinaria (barionica), U è il potenziale gravitazionale, g = ∇ U è il campo gravitazionale e g = ∥ g ∥ la sua norma euclidea ordinaria. La modifica dell'equazione di Poisson è codificata nella funzione MOND μ ( y ) del singolo argomento y ≡ g / a 0 , dove a 0 = 1.2 × 10 − 10 m / s 2 denota la scala di accelerazione costante MOND. La funzione MOND μ ( y ) tende a 1 per y ≫ 1 in un regime di campo forte newtoniano e tende a y per y ≪ 1 in un regime di campo gravitazionale debole. Secondo [14] , [3] e [4] l'effetto più importante di MOND nel Sistema Solare è l'Effetto di Campo Esterno (EFE) che produce due correzioni (parametrizzate da due quantità Q 2 e Q 4 ) al potenziale newtoniano che aumentano con la distanza dal Sole. In altre parole, gli oggetti con un grande semiasse maggiore sono più sensibili agli effetti delle perturbazioni indotte da MOND formalizzate da un'equazione di Poisson modificata.

Quindi, studiamo comete con grandi semiassi maggiori per determinare l'entità degli effetti della teoria MOND. In effetti, le comete sono buoni candidati perché non solo si allontanano dal Sole su un'orbita molto eccentrica, ma tornano anche vicino alla Terra per essere osservate con precisione. Quando le comete si avvicinano al Sole, la loro orbita gravitazionale è influenzata dalla sublimazione dei ghiacci dalla superficie del loro nucleo. Il degassamento innesca forze non gravitazionali che modificano significativamente l'orbita della cometa vicino al Sole (meno di 3 UA). Queste forze non gravitazionali sono state modellate per la prima volta in [12] e poi migliorate in [13]. Altri approcci più fisici per le forze non gravitazionali sono stati sviluppati in [19] , [18] , [6] e [11] . Questi ultimi modelli tengono conto del degassamento da poche aree del nucleo che descrive in modo più accurato le osservazioni fatte dalle sonde spaziali.

Il modello sviluppato in [13] per calcolare le forze non gravitazionali è sia sufficiente per studiare le orbite delle comete sia più facilmente implementabile rispetto al modello più sofisticato. Questo modello viene utilizzato per generare effemeridi cometarie e fornisce una buona stima dell'effetto non gravitazionale per le orbite cometarie. Queste forze non gravitazionali si ottengono adattando i dati astrometrici ma è importante tenere conto di tutti i piccoli effetti, come i termini relativistici, per stimare correttamente il degassamento (si veda [10]). Ecco perché l'obiettivo principale di questo articolo è quantificare quale sarebbe la perturbazione MOND sulle comete se questa teoria fosse convalidata e qual è l'ordine di grandezza massimo di questo effetto.

In [9] e [8] , gli autori hanno utilizzato il formalismo sviluppato in [3] e [4] per vincolare la quantità Q 2 con i dati raccolti dalla missione spaziale Cassini. Anche se gli autori hanno affermato che l'intervallo di valori di Q 2 è drasticamente ristretto con quel set di dati, scegliamo di mantenere tutti i diversi valori di Q 2 per ottenere le variazioni estreme delle orbite della cometa come in [3] e [4] .

Il piano di lavoro è il seguente :

Nella sezione 2, presentiamo un breve promemoria sull'equazione di Gauss del problema dei due corpi perturbati e sull'implementazione delle perturbazioni non gravitazionali e MOND. La sezione 3 mostra la conseguenza in termini di variazione secolare degli elementi orbitali dovuta alle perturbazioni non gravitazionali e MOND di tre comete. Concludiamo nella sezione 4 e diamo alcune prospettive.


La scoperta di Urano

Dopo alcune notti, scoprì che si muoveva lentamente rispetto alle stelle, e quindi non era una stella.

Nel giro di pochi mesi, gli astronomi avevano confermato che non era una cometa, ma era in realtà un nuovo pianeta in orbita oltre Saturno!

Per apparire risolta nel suo piccolo telescopio, doveva essere più grande della Terra.

Il nuovo pianeta è stato infine nominato Urano, e ha reso famoso Herschel, iniziando la sua carriera come uno dei più illustri astronomi del XVIII secolo.

Il nuovo pianeta aveva un semiasse maggiore di a=19.2 AU. La previsione della legge di Titius Bode era a=19.6 AU!

All'improvviso, gli astronomi cominciarono a chiedersi se non ci fosse qualcosa nella Legge di Titius-Bode, dopotutto.

In particolare, c'era davvero un quinto pianeta "mancante" ad a=2.8AU tra Marte e Giove?


Movimento traslatorio

3.2 Effetto della gravità sul salto verticale

Il peso di un oggetto dipende dalla massa e dalle dimensioni del pianeta su cui si trova. La costante gravitazionale della luna, ad esempio, è un sesto di quella della Terra quindi, il peso di un dato oggetto sulla luna è un sesto del suo peso sulla Terra.

Dall'eq. 3.11 , l'altezza del salto sulla Terra è

La forza F m che accelera il corpo verso l'alto dipende dalla forza dei muscoli delle gambe e per una data persona questa forza è la stessa sulla luna come sulla Terra. Allo stesso modo, l'abbassamento del baricentro c è invariato con la posizione. Con F la forza di reazione sulla luna = F m + W ′ , l'altezza del salto sulla luna ( H ′ ) è

Qui W ′ è il peso della persona sulla luna (cioè W ′ = W / 6 ). Il rapporto tra le altezze di salto nelle due posizioni è

Cioè, se una persona può saltare fino a un'altezza di 60 cm sulla Terra, quella stessa persona può saltare fino a 3,6 m sulla Luna.


Acksblog

La fascia principale degli asteroidi (MAB) occupa una regione a forma di ciambella (toroidale) lontana dalla Terra, tra le orbite di Marte e Giove. Gli asteroidi che lo compongono non sono così fitti come i film in TV li descrivono. Sebbene ci siano forse un milione di asteroidi più grandi di 1 km nella fascia principale, lo spazio che occupano è così vasto che la distanza media tra loro è > 500.000 chilometri. Tutti orbitano attorno al Sole nello stesso senso (in senso antiorario) dei pianeti.

L'indizio principale della loro recente creazione è l'inclinazione media relativamente grande delle loro orbite. Le orbite di tutti i pianeti si trovano entro circa 3 gradi dall'orbita della Terra, che gli astronomi usano per definire l'inclinazione zero, quindi il sistema solare nel suo insieme è abbastanza piatto. Tuttavia, le inclinazioni orbitali degli 8217 della fascia principale degli asteroidi variano fino a circa 28 gradi, con il 90% tra 0 e 20 gradi. Gli astronomi ritengono che si tratti di corpi rocciosi dai quali i pianeti terrestri si sono accresciuti 4,6 miliardi di anni fa, ma che a causa dell'influenza gravitazionale di Giove, è stato loro impedito di crescere per formare un corpo simile a un pianeta.

La domanda che l'astronomia moderna evita è: se hanno 4,6 miliardi di anni, perché non si sono stabiliti nel piano piatto del sistema solare, come tutti i pianeti?

Catastrofismo ciclico

Nello scenario CC gli asteroidi della fascia principale sono stati espulsi da Giove ad alte inclinazioni da un enorme getto di gas caldi negli ultimi 6.000 anni, quindi non hanno avuto il tempo di stabilirsi nel piano del sistema solare. Il pianeta Venere è stato creato, come tutti i più antichi pianeti terrestri, da un impatto ad alta energia su Giove 6000 anni fa. Poiché Giove è un corpo idrato di gas metano congelato, solido, l'impatto ha innescato un'esplosione di fusione così enorme che una nube di plasma, migliaia di volte la dimensione di Giove stesso, è rimbalzata e gli elementi pesanti all'interno di quella nuvola calda hanno formato il pianeta caldo Venere vediamo oggi.

L'esplosione della fusione nucleare da cui è stata creata Venere, ha provocato anche una fornace a fusione continua nel cratere da impatto su Giove, ha continuato a bruciare così ferocemente da inviare un getto di gas in fiamme a un milione e mezzo di miglia nello spazio, diminuendo solo lentamente negli ultimi seimila anni. Il getto si è spostato mentre il pianeta gigante ruotava, raffreddandosi, combinandosi e congelandosi mentre il gas si espandeva nello spazio. I satelliti più conosciuti di Giove, le lune galileiane, si sono formati caldi al momento della nascita di Venere nell'8217 nelle loro attuali orbite sincronizzate, ma sono stati ripetutamente ricoperti di materiale proveniente dal getto per millenni. In effetti, il getto che diminuisce lentamente si manifesta nelle differenze e nella composizione sconcertanti di questi quattro corpi. Il materiale del getto che ha colpito le lune esterne si era congelato in grandi pezzi di ghiaccio prima di impattare e causare crateri. Il getto era così caldo al raggio di Europa nei primi millenni, che solo gli elementi pesanti potevano condensarsi su di esso formando un nucleo roccioso-ferroso, poi con un ulteriore raffreddamento la grande massa d'acqua, che costituiva la maggior parte del getto era in seguito in grado di condensare per formare la sua superficie oceanica, che, a causa della sua recente formazione, è ancora fluida sotto la superficie ghiacciata.su Europa. Io ha ricevuto il massimo e l'effetto più caldo dal getto ed è sempre stato troppo caldo perché l'acqua si condensasse su di esso. Queste lune non sono riscaldate dallo strattone gravitazionale, ma a causa della loro recente nascita infuocata.

Fig 2 L'asteroide della fascia principale 253 Mathilde fotografato da Near

Tuttavia, poiché il getto si trovava a 22,5 gradi di latitudine sud, la posizione attualmente ben segnata dalla Grande Macchia Rossa, gran parte del materiale emesso ha mancato le lune galileiane e si è accresciuto (congelato) per formare tutti gli asteroidi della fascia principale, simile al corpi che hanno prodotto i crateri da impatto su Ganimede e Callisto. Come risultato della loro formazione dal corpo di Giove, gli asteroidi della fascia principale hanno la stessa proporzione di elementi del pianeta gigante. 253 Mathilde, mostrata in Fig. 2 ha una densità di solo 1,3, molto simile a quella di Giove 1,33. È poroso perché si è formato dal vapore nello spazio. L'immagine mostra che Mathilde è un unico corpo solido a bassa densità – non un ‘mucchio di macerie ’. Sono principalmente acqua ma hanno un'abbondanza proporzionale di tutti gli elementi più pesanti, incluso il ferro. Come risultato della loro condensazione/congelamento mentre sono ancora all'interno del campo magnetico di Giove, incorporano ciascuno un campo magnetico permanente. Queste stesse proprietà: bassa densità e campi magnetici caratterizzano tutti gli asteroidi della fascia principale osservati da vicino. Gli asteroidi della fascia principale Ida e Gaspra hanno mostrato effetti di campo magnetico. Poiché gli astronomi ritengono che i meteoriti, con densità di 3 g/cm^3 siano corpi originariamente deviati dalla fascia principale degli asteroidi, hanno difficoltà a spiegare le densità misurate inaspettatamente basse misurate fino ad oggi, portando all'idea che forse non sono corpi rigidi, ma sono ‘mucchi di macerie’ di rocce tenute insieme dalla gravità.

Lo scenario del Catastrofismo Ciclico spiega molto bene le elevate inclinazioni orbitali degli asteroidi della fascia principale. Primo, dal fatto che sono stati creati solo di recente e quindi non hanno avuto il tempo di essere lentamente attratti nel piano del sistema solare. Più quantitativamente, spiega anche la gamma delle loro inclinazioni. Entrano in gioco tre fattori: (a) l'inclinazione orbitale di Giove stesso 1,3 gradi (b) l'inclinazione del suo asse di rotazione (obliquità), 3,13 gradi e (c) la latitudine della Grande Macchia Rossa, che segna il cratere da che il gas ha emesso per circa sei millenni, -22,5 gradi. La somma di tutti questi fattori, circa 27 gradi, dà la possibile gamma di inclinazioni dei corpi formatisi dal getto di Giove. La figura sopra esprime in 𔃳D’ le inclinazioni orbitali sulla scala di sinistra in funzione del semiasse maggiore in basso, mentre il numero di asteroidi è dato sotto forma di una scala di colori. Si noti che le inclinazioni mostrate sono limitate all'intervallo preciso coerente con lo scenario di catastrofismo ciclico. Le lacune nei semiassi maggiori sono dovute a risonanze gravitazionali con Giove che escludevano alcune orbite.

I semiassi maggiori degli asteroidi della fascia principale variavano considerevolmente a causa della rotazione (rotazione) del pianeta. Giove ora ruota con un periodo di circa dieci ore, ma ruotava notevolmente più velocemente, forse in sette ore prima dell'impatto con Venere. Il rallentamento della rotazione di Giove che ha avuto luogo di recente è dovuto al momento angolare emesso dall'enorme getto negli ultimi sei millenni. La fine monotona ‘coda’ di questo rallentamento rotazionale, che continuò fino al 1930 circa, è attualmente immaginata per rappresentare la ‘deriva’ della Grande Macchia Rossa, e non è riconosciuta come il rallentamento rotazionale di Giove.

Ai corpi che si sono congelati dal getto quando diretti paralleli al vettore di movimento orbitale di Giove è stata data una velocità orbitale più elevata e quindi un semiasse maggiore più grande, infatti questi corpi potrebbero comprendere la cintura di Kuiper. I flussi espulsi nella direzione opposta avrebbero raggiunto i semiassi maggiori inferiori, risultando in orbite altamente eccentriche di corpi che decadono e alla fine colpiscono il Sole (Kreutzer ‘comete’), causando macchie solari. I campi magnetici permanenti di questi corpi hanno un profondo effetto sul campo magnetico del Sole e determinano la nota presenza di acqua nelle macchie solari. Quei corpi espulsi nelle direzioni intermedie comprendono la maggior parte degli asteroidi della fascia principale osservati.

Il disegno in alto a sinistra è Giove con un getto che si estende verso l'alto di diversi diametri planetari

Apparentemente il getto del getto di Giove era ancora sufficientemente grande da essere osservato nel IX secolo, quando un suo disegno fu incluso in un testo arabo. Questo disegno era una classificazione delle comete (temporanee) in termini di caratteristiche planetarie (permanenti) a quella data. Il titolo del documento non è noto, ma era probabilmente una breve epistola sulle comete, non un testo più lungo chiamato Kitab al-Mughni. Un aspetto davvero interessante di questa rappresentazione di Giove è l'implicazione che una cultura araba avesse telescopi astronomici nel IX secolo.

Gli asteroidi ghiacciati della fascia principale non hanno nulla a che fare con gli asteroidi di ferro rocciosi vicino alla Terra, che sono il risultato di decine di migliaia di convulsioni all'interno di Marte a priori mentre orbitava intorno alla Terra a soli 32.000 km di distanza, fino al 700 aC.


Cometa ISON News Links

La cometa ISON passerà oggi su Marte intorno alle 1600 GMT (mezzogiorno negli Stati Uniti orientali) a una distanza di circa 7 milioni di miglia. Purtroppo stamattina in Leone si trova proprio accanto alla luna, quindi sarebbe abbastanza difficile vederla anche con un telescopio. (La luna sarà fuori mano dopo il 5 ottobre).

Ho realizzato un video e una dimostrazione di Mathematica che mostrano il percorso di ISON attraverso il sistema solare, ma c'è un visualizzatore interattivo molto più carino su solarsystemscope.com.


Orbita che collassa a causa dell'onda gravitazionale

La tua equazione sembra interessante, ma non sono in grado di interpretarne il formato. Potete per favore riformattarlo?

Quando ho guardato per la prima volta il tuo post, il formato delle equazioni non era chiaro sul mio schermo per qualche motivo sconosciuto. Mi scuso per la mia confusione. Ora posso vedere le equazioni sulle quali ho alcune domande.

G è la costante di gravità? Ci sono ipotesi sulle sue unità?

Immagino che V rappresenti una coordinata corrispondente a un volume e che l'integrale sia su uno spazio di volume . È corretto? Quello che mi confonde è il rapporto tra e lo spazio che coinvolge le orbite di interesse.

Ottengo che l'integrale dia un valore per l'elemento di matrice Iij in base ai fattori xio e xj. Quello che non capisco completamente è la relazione tra e le due variabili xio e xj.

Non capisco la nozione delle due barre verticali con t-||r||.

Non sono sicuro di aver compreso il pedice k.
Immagino k = i = j. È corretto?
Se è così, allora Qkk = (2/3) Ikk. È corretto?

Immagino anche che T00 è l'elemento di un tensore corrispondente a t,t. È corretto? Inoltre, puoi indicarmi una fonte in cui la definizione di questo tensore T è definita in dettaglio?

Dove si inseriscono le masse dei due oggetti in queste equazioni?

Apprezzerei molto qualsiasi aiuto tu possa darmi.

i) ##G## è la costante gravitazionale [puoi impostare ##G=1## se vuoi].
ii) ##dV## è l'elemento del volume spaziale, ad es. per esempio semplicemente ##dV = dx^1 dx^2 dx^3## in cartesiani.
iii) ##Sigma## è un sottoinsieme di ##mathbb^3## contenente i corpi di interesse, sui quali si esegue l'integrale di volume.
iv) ##||mathbf|| := sqrt<(x^1)^2 + (x^2)^2 + (x^3)^2>## if ##mathbf = (x^1, x^2, x^3)^T## e ##t - ||mathbf||## può essere chiamato il tempo ritardato.
v) ##k## viene sommato, mentre ##i## & ##j## libero [c.f. Convenzione di sommatoria di Einstein].

vi) ##T^<00>## è solo la densità di energia. Ad esempio se hai due particelle che orbitano l'una intorno all'altra, con posizioni ##mathbf_1(t)## e ##mathbf_2(t)## e masse ##m_1## e ##m_2##, quindi potresti scrivere ##T^<00>(mathbf,t) = m_1 delta^<(3)>(mathbf - mathbf_1(t)) + m_2 delta^<(3)>(mathbf - mathbf_2(t))##.

[N.B. ##delta^<(3)>(mathbf - mathbf) equiv delta(x^1 - u^1) delta(x^2 - u^2) delta(x^3 - u^3)##].

MTW ha un'approssimazione della formula data sopra in un post di ergosfera, che è nota come formula del quadrupolo. Vedere pagina 978, sezione $ 36,2, "Potenza irradiata in termini di flusso di potenza interno".

Nelle unità non geometriche, la formula di MTW, che è derivata nel contesto di un corpo in orbita attorno a un altro è:

##P_## è la potenza (energia/unità di tempo) irradiata dalle onde gravitazionali. È un'approssimazione di campo debole, quindi tra le altre ipotesi si presume che non ci sia una significativa dilatazione del tempo gravitazionale. La formula funzionerà approssimativamente per cose come il binario di Hulse-Taylor, non si applicherà (né si applicherà la formula del quadrupolo) nel regime di campo forte di una coppia di buchi neri inspiranti.

##P_0## è una costante, uguale a c^5/G, essendo G la costante gravitazionale. Numericamente, in unità SI è ##circa 3,62 , 10^<52>## watt.

La grande dimensione di ##P_0## significa che il rapporto tra ##P_## a questa costante nel regime di campo debole è piccola, molto meno di uno.

##P_## è il flusso di alimentazione interno del sistema. È descritto come il prodotto di:

L'argomento utilizza la legge di Keplero (questa è un'approssimazione di campo debole!), che in questo contesto è:

Ecco perché coinvolge il rapporto tra il quadrato del raggio dell'orbita e il cubo del periodo orbitale. ##P_## è equivalente alla parte non sferica dell'energia del sistema, ##approssimativamente m v^2## per unità di tempo, cioè la parte non sferica della potenza del sistema.

Le unità funzionano, il quadrato di una potenza diviso per una potenza costante è una potenza.

Questa è un'approssimazione di un'approssimazione. Ci sono vari fattori costanti omessi.

Se vuoi ancora capire meglio la formulazione del quadrupolo, il ##I_## è piuttosto simile al momento del tensore d'inerzia, se hai familiarità con il momento del tensore d'inerzia. Quindi vengono sottratti alcuni elementi diagonali per fare la traccia di ##I_## svaniscono, rendendolo il cosiddetto tensore del quadrupolo "ridotto". Infine, per usare la formula del quardrupolo, dobbiamo prendere la derivata terza di questo tensore. E per ottenere la potenza totale emessa, dovremmo proiettare l'espressione tensoriale risultante a vari angoli dalla sorgente, quindi integrare. Le complessità rendono un po' difficile capire la fisica, la formulazione in termini di flusso di potenza interno rende la fisica un po' più comprensibile. Tuttavia, se sei interessato a casi diversi dai GW emessi da un'orbita circolare, non mi è chiaro come si applicherebbe la formula di MTW.


Risposte e risposte

Sì e no. Hai ragione sul fatto che la distanza tra due masse dipende da ##a_1+a_2##. Tuttavia, come noti, una di queste accelerazioni è assolutamente trascurabile. Inoltre, se lavori in un sistema inerziale, le accelerazioni di ciascun oggetto sono realmente indipendenti dalla loro massa. È solo se si adotta il frame di riposo (accelerante) di un oggetto che l'accelerazione dell'altro dipende dalla sua massa.

Quindi, in breve, ci sono avvertimenti (di solito non scritti) sull'affermazione "l'accelerazione gravitazionale è indipendente dalla massa". Non è sbagliato, ma ha alcune ipotesi su come stai misurando l'accelerazione.

Grazie per l'awner.
Ma perchè no? La forza su m1 non è la stessa di m2 a causa della terza legge di Newton?

Sì e no. Hai ragione sul fatto che la distanza tra due masse dipende da ##a_1+a_2##. Tuttavia, come noti, una di queste accelerazioni è assolutamente trascurabile. Inoltre, se lavori in un sistema inerziale, le accelerazioni di ciascun oggetto sono realmente indipendenti dalla loro massa. È solo se si adotta il frame di riposo (accelerante) di un oggetto che l'accelerazione dell'altro dipende dalla sua massa.

Quindi, in breve, ci sono avvertimenti (di solito non scritti) sull'affermazione "l'accelerazione gravitazionale è indipendente dalla massa". Non è sbagliato, ma ha alcune ipotesi su come stai misurando l'accelerazione.

Prendi questo caso, forse qualcosa di più familiare.
Due persone stanno tirando una fune, una a sinistra e una a destra in modo che la fune sia in tensione.
Ciascuno esercita una forza F sulla propria estremità della fune per non avere accelerazione.
La forza "totale" non diventa 2F.
La forza esercitata sulla persona a sinistra dalla corda è F.
La forza esercitata sulla fune dalla persona di sinistra è F, ma di segno o direzione opposta.
La forza sulla persona giusta dalla corda e sulla corda dalla persona giusta seguono la stessa statica.
Da nessuna parte entra in gioco una forza di 2F.

Prima di tutto le forze sono vettori. L'interazione gravitazionale tra due forze è data dalla forza sulla particella 1,
$vec_<12>=-frac<|vec_1-vec_2|^2> frac_1-vec_2><|vec_1-vec_2|> = - Sol m_1 m_2 frac_1-vec_2><|vec_1-vec_2|^3>.$
La forza sulla particella 2 è
$vec_<21>=-vec_<12>,$
secondo la terza legge di Newton.

Le equazioni del moto sono
$m_1 ddot>_1=vec_<12>, quad m_2 ddot>_2=vec_<21>.$
Ora, perché ##vec_<12>+vec_<21>=0##, è una buona idea introdurre le coordinate del centro di massa
$vec=frac<1> (m_1 vec_1+m_2 vec_2).$
L'uso delle equazioni del moto porta a
$ddot>=0.$
Il centro di massa si muove quindi con velocità costante.

Per descrivere ulteriormente il moto è ovviamente una buona idea introdurre il vettore posizione relativa ##vec=vec_2-vec_1##. Usando ##vec## e ##vec## puoi esprimere facilmente ##vec_1## e ##vec_2## tramite queste nuove coordinate e l'equazione del moto per ##vec## risulta essere
$mu ddot>=-G m_1 m_2 frac><|vec|^3>=vec(vec), qquad (*)$
dove la "massa ridotta" è definita da
$mu=frac.$
Quindi l'ulteriore soluzione delle equazioni del moto si riduce al moto di una "quasi-particella" di massa ridotta ##vec## con la forza data a destra di (*).


Perché le perturbazioni gravitazionali sono più forti nei semiassi maggiori più grandi? - Astronomia

Per essere in grado di rispondere a questa domanda, dobbiamo definire cosa è o non è un pianeta.

Cos'è un pianeta?

Ora sappiamo che anche la Terra è un pianeta e che tutti questi pianeti orbitano attorno al Sole.

La Luna e i satelliti planetari orbitano attorno ai pianeti, quindi si potrebbe iniziare definendo i pianeti come oggetti che orbitano direttamente intorno al Sole.

    UN stella è un oggetto che genera energia stabilmente per fusione di idrogeno. Gli oggetti più massicci di circa 0,076 masse solari possono farlo.


Questa immagine è di una nana M vicina, Gliese 229. L'oggetto debole a destra è un compagno, Gliese 229B, che sembra essere una nana bruna. Nota che Gleise 229 non è così grande come sembra qui: è un punto di luce. Appare grande sul rilevatore perché è luminoso e l'immagine viene allungata per far risaltare i dettagli deboli, inclusa la nana bruna. (Clicca qui per il comunicato stampa HST.)

La scoperta del sistema solare esterno

Nel 1781, William Herschel scoprì Urano. La notò come una possibile nebulosa planetaria perché era verdastra e presentava un disco risolto (le stelle sono ancora punti di luce visti dai telescopi, con pochissime eccezioni). Lo ha riosservato in seguito e ha scoperto che si era mosso, e quindi non poteva essere una nebulosa planetaria. Le osservazioni successive hanno prodotto un'orbita e hanno mostrato che era più distante di Saturno e grande quasi quanto Saturno. Era chiaramente un nuovo pianeta.

Nel 1772, J.E. Bode pubblicò una nota precedentemente affermata da J.D. Titius, che sottolineava una semplice relazione matematica per i semiassi maggiori delle orbite planetarie. Matematicamente, la formula è a = (2 n X 3 + 4) / 10 dove a è il semiasse maggiore dell'orbita e n è un indice, a partire da -1 per Mercurio, 0 per Venere, 1 per la Terra, 2 per Marte , 4 per Giove e 5 per Saturno. Se si imposta 2 -1 = 0, i semiassi maggiori previsti concordano con i semiassi maggiori reali entro pochi punti percentuali. Il Legge di Titius-Bode è empirico: non esiste una ragione fisica per cui dovrebbe reggere, ma si è dimostrato utile come predittore.

Dopo la sua scoperta nel 1781, si scoprì che Urano, a 19,2 unità astronomiche, soddisfaceva la legge di Titius-Bode per n=6.

Il 1 gennaio 1801 G. Piazzi scoprì un oggetto, Cerere, che orbitava tra Marte e Giove, nel punto in cui la legge di Titius-Bode prevedeva un oggetto per n=3. Ceres is fairly faint, and we now know that it is small, with a radius of 993 km. Following Piazzi's discovery, an number of other objects, including Juno, Pallas, and Vesta, were discovered to have similar orbits. There are nearly 10,000 objects now known which have orbits between Mars and Venus: collectively, these are the asteroids.

In the 1840s, the position of Uranus deviated from its predicted orbit by one minute of arc. Urbain Leverrier, working in Paris, and J.C. Adams, working in London, independently predicted the existence of another planet whose gravitational pull would affect, or perturb, Uranus's orbit. This lead to the discovery of Neptune, which had been seen but not recognized as a planet, by Galileo, some 243 years earlier. Neptune is at a distance of 30 AU, in disagreement with the Titius-Bode law prediction of 40 AU (for n=7).

Even after accounting for perturbations from Neptune, Uranus appeared to show some residual perturbations. This lead to the search for Planet X. In 1930, after many grueling years of blinking plates in the search for a moving object, Clyde Tombaugh, working at the Lowell Observatory, identified the object we now know as Pluto. With a mean distance of 40 AU, Pluto satisfies the Titius-Bode law for n=7. Pluto turned out to be a lot fainter, and smaller, than expected, and could not have been responsible for the perturbations in Uranus' orbit. Ironically, later analysis showed that the perturbations that led to the search for Pluto were not real, and were likely due to observational error.

Further information about Pluto is available at the URL referred to in Christine Lavin's song.

What of the Titius-Bode law? It is not a true law of nature, like Newton's laws. There seems to be no physical reason for it. That there is some mathematical regularity to the spacing of objects in the inner solar system seems to be a natural consequence of the way planets form, and gravitationally interact with each other. If planets get too close together, perturbations either cause them to collide, or one to get ejected from the solar system. Mathematical modelling of this process shows that you always end up with distances between the planets that can be approximated as a geometric series.

Characteristics of the Planets

  • They orbit in or near the ecliptic. Excluding Pluto, the greatest inclination to the ecliptic is 7 o (Mercury).
  • They have nearly circular orbits. With the exceptions of Mercury and Pluto, the largest orbital eccentricity is less than 10%.

A second salient characteristic of planets is their densità. With the exceptions of Mercury and Venus, all the planets have satellites. We can use Newton's laws to determine the masses of the planets. Masses of Mercury and Venus are determined most accurately from tracking their gravitational pull on spacecraft we've sent there. Planetary volumes come from measuring their apparent size and knowing their distance from the earth (using Kepler's laws and a bit of geometry).

The density of a planet gives away its bulk composition. We know that gas is low density even a highly compressed gas like the Sun only has a density of 1.4 gm/cc. Liquids and ices have densities near 1 (the density of water is 1 gm/cc note, however, that liquids will evaporate at low pressures). Rock has densities of about 3 metals have higher densities. The terrestrial planets are rocky with metallic cores the Jovian planets are gaseous with rocky/metallic cores and icy mantles.

The Solar System

Terrestrial Planets

Terrestrial planets are small and rocky. They have metallic cores. They were not large enough to sweep up significant atmospheres as they formed, so any atmospheres they have today are from gas trapped in the planet as it formed, and released, mainly through volcanic and other tectonic activity.

Gravitational settling of the planet (heavy atoms sinking, with lighter atoms rising) leads to the formation of a dense core and generates heat from the release of gravitational potential energy. In addition, the decay of naturally-occuring radioactive isotopes, mainly Thorium and Uranium, is an important heat source in planets. This heat must be radiated away through the planetary surface. This heat in the planetary core (the Earth's core is molten nickel-iron) drives convection in the mantle, which generates volcanic anjd seismic activity, and causes the continental plates to move. This is called plate tectonics.

The amount of heat generated is proportional to the mass, or volume (the densities are all similar), and so is proportional to the cube of the radius. The luminosity, or the rate at which the planet can radiate away this heat, is proportional to the surface area, or the square of the radius. Therefore larger planets retain more heat, and remain tectonically active longer.

Mercury is heavily cratered. The smallest of the terrestrial planets, and the closest to the Sun, Mercury has no significant atmosphere. This is attributable to the fact that neither its low gravity nor high temperature are conducive to retaining an atmosphere. Mercury is not tectonically-active.

The other terrestrial planets, Venus, Earth, and Mars, all have atmospheres, and all have evidence of tectonic activity. Earth is tectonically-active now Mars may have been as recently as half a billion years ago. All three show evidence of craters, and erosion from wind and water.

Venus has a thick atmosphere of carbon dioxide with sulfuric acid clouds. It has no liquid water. Venus may once have had water: the Venusian atmosphere today is the result of a runaway greenhouse effect.

The terrestrial atmosphere is unique in the solar system because of its high oxygen content. Oxygen is highly reactive, and is present only because it is continuously generated by plants. Earth is also unique in having liquid water on its surface.

  • its low gravity, and
  • the lack of tectonic activity, which replenishes atmospheric gasses

Jovian Planets

Jupiter has a composition close to that of the Sun. The other Jovian planets are smaller, and have retained less hydrogen. All have densities close to 1 gm/cc, reflecting their gas and ice composition. The satellites of the Jovian planets have densities in the 1-3 gm/cc range, reflecting their compositions of ice and rock.

Formation of the Planets

The clear correlation between the density of a planet and its proximity to the Sun can be explained in terms of the condensation sequence.

At temperatures above about 1500K, there are no solids: everything is gaseous. In the inner disk, about where Mercury is today, the temperature was close to 1000K. At these temperatures only metals and highly refractory minerals, like metal oxides and silicates, could condense out of the gas. Further out in the solar nebula, near where Earth and Mars are today, less refractory minerals, including feldspars, triolite and carbonaceous compounds, could condense. These have lower densities than the highly refractory minerals. At about 5 AU, where Jupiter is today, ices could form. The most common elements (aside from hydrogen and helium) are oxygen, carbon, and nitrogen their compounds, water, methane, and ammonia, are the main constituent of the common ices. Ices and carbonaceous compounds, which evaporate at low temperatures, are called volatiles.

Because there was more material to condense at low temperatures, the Jovian planets grew large rocky cores (Jupiter's core is about 10 Earth masses), which could collect lots of ice. The gravitational pull of these masses, and the low temperatures, meant that the Jovian planets could sweep up large gaseous atmospheres of hydrogen and helium. The overall composition of Jupiter is close to the solar composition, while the terrestrial planets have insufficient gravity to retain large atmospheres. At the temperature and gravity of the Earth, hydrogen escapes into space because of its thermal velocity.

The planets grew through collisions of small particles. At low relative velocities, colliding particles often stick. This is especially true if they are coated with ices. As particles stick, they grow, and their gravitational pull increases. This makes it more likely that future collisions will occur. A gravitational runaway occurs, with particles colliding and sticking, and objects called planetesimals in crescita. Computer simulations show that within a million years or so after the grains begin sticking, one ends up with billions of kilometer-sized planetesimals. These too continue to collide, sometimes sticking together and sometimes fragmenting.

Over the next hundred million years, these planetesimals accrete together to form planetary embryos (objects the size of the Moon or Mars). Eventually, gravitational forces result in all the embryos either colliding or being ejected from the solar system, leaving the small number of planets we see today.

Look here for a summary of this process written by a planetary astronomer.

Origin of the Moon

The Earth is unique among the terrestrial planets in that it has a large satellite. Mercury and Venus do not have satellites, and the two small moons of Mars, Phobos and Deimos, are most likely captured asteroids.

  • Charles Darwin suggested that the Moon formed when the young, rapidly-spinning Earth, still molten, bifurcated into two objects. It was suggested that the Moon came from the Pacific Ocean basin. We know that this could not have happened the Pacific Ocean basin is the result of recent plate tectonics the moon does not have the composition of the Earth's mantle, and the Earth never rotated fast enough to split into two pieces.
  • The Moon might have formed in a disk orbiting the proto-Earth, much like the Solar nebula gave rise to planets. This is thought to be the origin of the Jovian satellite systems. However, were this true the moon should have the same composition as the Earth.
  • The moon might have formed elsewhere, and been gravitationally captured by the Earth. It is hard to understand how a capture would result in a lunar orbit that is nearly circular, nearly in the ecliptic, and prograde.
  • The currently accepted hypothesis is that the Moon is the consequence of the last major collision in the early solar system between the proto-Earth and a Mars-sized planetary embryo. The two cores merged. Some of the debris was ejected into orbit around the Earth, where it cooled and condensed into the moon.The low density of the Moon is a consequence of the fact that most of the ejecta was from the rocky mantles, and included little of the metallic core material.

The Minor Planets

1 Ceres is the largest of the Asteroids (the 1 is the numbering scheme all asteroids get a number once they are identified many are later named). They belong to a small number of classes, based either on composition (determined from spectra), or from their orbital characteristics. The Apollo asteroids have eccentric orbits which cross Earth's orbit. (this means that they could collide with the Earth). The total mass of all the asteroids is less than the mass of Earth's Moon. Most meteorites originated in the asteroid belt. The Martian moons Phobos and Deimos appear to be captured asteroids, as do many of the small outer moons of Jupiter and Saturn.

951 Gaspra 241 Ida 253 Mathilde 443 Eros 5535 Annefrank

We know from ground-based observations that asteroids have irregular shapes, and that some are double. The Galileo and NEAR spacecraft flew by 3 asteroids, 951 Gaspra, 241 Ida, and 253 Mathilde. Gaspra measures about 19 X 12 X 11 km, and is an S-type asterois, which means it is made of metallic nickel-iron and with magnesium-silicates. Ida is a larger (58 X 23 km) S-type asteriod. It has a small satellite, Dactly, about 1 km across, which orbits about 90 km from the center of Ida. Mathilde is a C-type asteriod, the most common type, rich in carbonaceous materials. It is quite dark, reflecting only about 3% of the incident sunlight. Mathilde is the largest of these asteroids, with dimensions of about 59 X 47 km.
Annefrank is small, only 8 km long, and dark, reflecting 10-20% of sunlight hitting it. Stardust passed within 3300 km of Annefrank on November 2 2002.

The Near Earth Asteroid Rendezvous (NEAR) spacecraft flew by and then later orbited 433 EROS for about a year beginning on February 14 2000. EROS is a 40 x 14 x 14 km rock that rotates in about 5 hours. It orbits the Sun every 1.8 years, on an orbit with a perihelion of 1.13 AU and an aphelion of 1.78 AU. It was discovered in 1898.

NEAR later landed on the surface.


  • The full view.

  • Some up close views. Each image is about 550 meters across, taken from a height of about 13 kilometers.

  • Close up of some boulders, from 250 meters.

  • The final picture, from 120 meters up.

2060 Chiron (note the asteroid nomenclature) is the largest of the centauri, asteroid-sized objects orbiting between Saturn and Uranus. Chiron has a radius of 170 km. There are about 10 of these currently known. Chiron shows a comet-like coma when near the Sun (its orbit is elliptical, ranging from 8 to 18 AU), and is also classified by the IAU as a comet.

Il Trans-Neptunian Objects (TNOs), of which about 100 are known, are found, as their name implies, out beyond Neptune. They have orbits similar to that of Pluto. These may represent the largest of the Kuiper belt objects. It has been suggested that Pluto/Charon is the largest of the TNOs. It is also likely that Triton, the largest satellite of Neptune, is a captured TNO. The TNOs seems to be of mostly icy composition.

And What About Sedna and Eris?

Sedna, discovered in 2004, was the most distant large object known in the Solar System at that time. Its size is uncertain, but it is probably about half the size of the Moon. Its orbit is highly eccentric, taking it from about 76 AU from the Sun (it is now about 86 AU out) to about 1000 AU in a 12,000 year orbit. It is not a member of the more distant Oort cloud. It may have been flung out of the Kuiper belt early in the history of the Solar System. Last year brought the announcement that Eris (2003 UB313), 68 AU from the Sun and with a radius of 1200 km, was even larger.

Is Pluto a Planet?

The issue reached a head in February 1999 when Brian Marden, the director of the Central Bureau for Astronomical Telegrams, suggested that Pluto be honored with minor planet designation 10,000. This would ensure Pluto's recognition as the largets of the Trans-Neptunian Objects (TNOs), but would have the side effect of demoting Pluto from major to minor planet status. His proposal was incorporated in a Minor Planet Electronic Circular M.P.E.C. 1999-C03.

Reaction was swift. On the previous day, the (IAU) had issued a press release on the matter (apparently Marsden's editorial was written a few days earlier, and published later than the press release which contradicts it). Marsden's response was given the next day, in M.P.E.C. 1999-C10.

The official position of the IAU is given in this press release. Scroll down to Resolution 5A.

A PDF presentation I made on this topic is available here.

So, what's the answer? This is a case where there is no right answer, as long as you can support your case.